Fiche 1.1 — Formation des images

Thème : Ondes et signaux (1) — Semestre : 1 — Chapitre : 1.1

Objectifs

Modéliser la formation des images par des dispositifs optiques (lentilles minces, miroirs, associations), en délimiter le champ de validité (approximation de Gauss), et appliquer ces modèles à l'œil, à l'appareil photographique et à la fibre optique. Interroger la notion de modèle et ses limites.

1. Sources lumineuses

• Source ponctuelle monochromatique : modèle idéal émettant une radiation de longueur d'onde unique $\lambda$ dans le vide.
• Spectre : répartition de la puissance rayonnée selon $\lambda$. Relier $\lambda$ et la couleur (visible : $\lambda\in[400\ \mathrm{nm},800\ \mathrm{nm}]$).
• Ordres de grandeur : rouge $\approx 700\ \mathrm{nm}$, vert $\approx 550\ \mathrm{nm}$, violet $\approx 400\ \mathrm{nm}$.

2. Modèle de l'optique géométrique

• Hypothèses : la lumière se propage en ligne droite dans un milieu transparent, homogène et isotrope ; on néglige tout phénomène ondulatoire (diffraction).
• Rayon lumineux : courbe orientée suivant le sens de propagation de l'énergie lumineuse.
• Indice d'un milieu transparent : $n=c/v$, avec $c$ célérité dans le vide et $v$ célérité dans le milieu. $n\geq 1$ ($n_{\mathrm{air}}\approx 1{,}00$ ; $n_{\mathrm{eau}}\approx 1{,}33$ ; $n_{\mathrm{verre}}\approx 1{,}5$).
• Limites du modèle : devient invalide dès que les dimensions des obstacles ou des ouvertures sont comparables à $\lambda$ (diffraction, interférences).

Lois de Snell–Descartes

• Réflexion : rayon incident et réfléchi dans le plan d'incidence ; $i_1=i'_1$.
• Réfraction : $n_1\sin i_1=n_2\sin i_2$.
• Réflexion totale : possible uniquement lors du passage vers un milieu moins réfringent ($n_1>n_2$). Angle limite : $\sin i_{\ell}=n_2/n_1$. Condition : $i_1>i_{\ell}$.

3. Stigmatisme et approximation de Gauss

• Stigmatisme rigoureux : tous les rayons issus d'un point objet convergent en un point image unique.
• Miroir plan : stigmatisme rigoureux ; image symétrique de l'objet par rapport au plan du miroir (image virtuelle d'un objet réel, et inversement).
• Approximation de Gauss : rayons paraxiaux (proches de l'axe et peu inclinés). Conditions : diaphragmer le système, lentilles minces, objet proche de l'axe.
• Conséquences : stigmatisme et aplanétisme approchés. Le stigmatisme approché est suffisant lorsque la tache image reste inférieure à la résolution du détecteur (œil, capteur...).

4. Lentilles minces dans l'approximation de Gauss

Propriétés

• Centre optique $O$ : tout rayon le traversant n'est pas dévié.
• Foyers : objet principal $F$, image principal $F'$ ; foyers secondaires $F_1,F'_1$ dans le plan focal.
• Distance focale image : $\overline{OF'}=f'$ (algébrique). Vergence : $V=1/f'$ (en dioptries $\delta=\mathrm{m}^{-1}$).
• Lentille convergente : $f'>0$, $V>0$. Lentille divergente : $f'<0$, $V<0$.

Relations de conjugaison

• Descartes (origine au centre) : $\frac{1}{\overline{OA'}}-\frac{1}{\overline{OA}}=\frac{1}{f'}$
• Newton (origine aux foyers) : $\overline{FA}\cdot\overline{F'A'}=-f'^{\,2}$

Grandissement transversal

$\gamma=\frac{\overline{A'B'}}{\overline{AB}}=\frac{\overline{OA'}}{\overline{OA}}=-\frac{f'}{\overline{FA}}=-\frac{\overline{F'A'}}{f'}$

• $\gamma>0$ : image droite ; $\gamma<0$ : image renversée.
• $|\gamma|>1$ : image agrandie ; $|\gamma|<1$ : image réduite.
• Image réelle ($\overline{OA'}>0$) ou virtuelle ($\overline{OA'}<0$).

Condition de formation d'une image réelle par une lentille convergente

Pour un objet réel ($\overline{OA}<0$), une image réelle ($\overline{OA'}>0$) nécessite $|\overline{OA}|>f'$, soit $\overline{OA}<-f'$ : l'objet doit être placé au-delà du foyer objet $F$.

5. Modèles de dispositifs optiques

L'œil

• Modèle : lentille convergente de vergence variable (accommodation) + capteur plan fixe (rétine).
• Punctum remotum (PR) : point le plus éloigné vu net sans accommodation (œil emmétrope : PR à l'infini).
• Punctum proximum (PP) : point le plus proche vu net (accommodation maximale, $\approx 25\ \mathrm{cm}$).
• Limite de résolution angulaire : $\approx 3\times10^{-4}\ \mathrm{rad}\approx 1'$ d'arc.
• Plage d'accommodation : de $\infty$ à PP.

Appareil photographique

• Modèle : lentille (objectif) + capteur plan.
• Profondeur de champ : construite géométriquement à partir du diaphragme (ouverture circulaire).
• Influence des réglages :
  • Focale : angle de champ et grandissement.
  • Durée d'exposition : quantité de lumière + flou de mouvement.
  • Diaphragme (nombre d'ouverture $N=f'/\emptyset$) : luminosité et profondeur de champ (faible $N$ $\Rightarrow$ profondeur de champ faible).

Fibre optique à saut d'indice

• Cœur d'indice $n_1$ et gaine d'indice $n_2<n_1$. Propagation par réflexion totale à l'interface cœur–gaine.
• Cône d'acceptance (demi-angle limite $\theta_0$ dans l'air, $n_0\approx1$) : $\sin\theta_0=\sqrt{n_1^{\,2}-n_2^{\,2}}\quad(\text{ouverture numérique})$
• Dispersion intermodale : les rayons extrêmes et axaux n'arrivent pas en même temps. Pour une fibre de longueur $L$, retard maximal $\Delta t\approx \dfrac{L\,n_1}{c}\left(\dfrac{n_1}{n_2}-1\right)$, d'où une bande passante limitée.

Système à plusieurs lentilles

Modéliser un dispositif usuel (lunette, microscope, optique de smartphone) en enchaînant les conjugaisons : l'image intermédiaire sert d'objet pour la lentille suivante.

6. Savoir-faire exigibles

• Caractériser une source lumineuse par son spectre ; relier $\lambda$ et couleur.
• Définir le modèle de l'optique géométrique et citer ses limites.
• Établir la condition de réflexion totale.
• Construire l'image d'un objet par un miroir plan.
• Énoncer les conditions de Gauss et leurs conséquences ; relier stigmatisme approché et caractéristiques d'un détecteur.
• Définir centre optique, foyers, distance focale, vergence.
• Construire l'image d'un objet (distance finie ou infinie), identifier sa nature (réelle/virtuelle).
• Exploiter les formules de conjugaison et de grandissement de Descartes et de Newton.
• Établir/utiliser la condition de formation d'une image réelle par une lentille convergente.
• Modéliser l'œil (vergence variable + capteur fixe) ; citer PR, PP, limite de résolution angulaire, plage d'accommodation.
• Modéliser l'appareil photo ; construire la profondeur de champ ; étudier focale, exposition, diaphragme.
• Établir cône d'acceptance et dispersion intermodale d'une fibre à saut d'indice.
• Modéliser un dispositif à plusieurs lentilles.

7. Pièges et points clés

• Algébrisation : orienter l'axe optique dans le sens de propagation de la lumière ; $\overline{OA}<0$ pour un objet réel.
• Le foyer image $F'$ d'une convergente est réel, celui d'une divergente est virtuel — ne pas inverser.
• Newton n'utilise que des distances aux foyers : pratique quand l'objet est proche de $F$.
• La réflexion totale n'existe qu'en passant d'un milieu plus réfringent vers un milieu moins réfringent.
• Une image virtuelle ne se projette pas sur un écran : elle est vue en regardant à travers le système.