Fiche 1.2 — Signaux électriques dans l'ARQS

Thème : Ondes et signaux (1) — Semestre : 1 — Chapitre : 1.2

Objectifs

Modéliser les circuits électriques dans l'Approximation des Régimes Quasi Stationnaires (ARQS) : algébriser grandeurs et orientations, utiliser les lois de Kirchhoff, décrire les dipôles linéaires R, L, C et les sources de Thévenin, mettre en œuvre diviseurs et résistances équivalentes, et caractériser un dipôle par son point de fonctionnement.

1. Grandeurs électriques et ARQS

Charge et intensité

• Charge électrique : grandeur algébrique $q$, quantifiée en multiples de la charge élémentaire $e\approx 1{,}6\times10^{-19}\ \mathrm{C}$. À l'échelle mésoscopique du circuit, la quantification est invisible : les grandeurs électriques (intensité, tension) sont traitées comme continues.
• Intensité du courant : débit de charge à travers une section orientée : $i(t)=\frac{\mathrm{d}q}{\mathrm{d}t}$
• Sens conventionnel : $i>0$ correspond au sens de déplacement des charges positives (sens opposé à celui des électrons dans un conducteur métallique).

Potentiel, tension, référence

• Potentiel $V(M)$ : grandeur définie à une constante près ; on choisit une référence de potentiel (masse, $V=0$) imposée par le circuit ou l'appareil de mesure.
• Tension : différence de potentiel $u_{AB}=V_A-V_B$, grandeur algébrique.
• Loi des mailles : sur une maille orientée, la somme algébrique des tensions est nulle : $\sum_{\mathrm{maille}} u_k=0$

Loi des nœuds et conservation de la charge

• Loi des nœuds : la somme des intensités arrivant à un nœud égale la somme des intensités qui en repartent : $\sum_{\mathrm{entrant}} i_k=\sum_{\mathrm{sortant}} i_k\quad\Longleftrightarrow\quad \sum_{\mathrm{nœud}} i_k=0\ \text{(orientées vers le nœud)}$
• Fondement : postulat de conservation de la charge. À l'échelle du nœud, aucune accumulation de charge n'est possible en régime quasi stationnaire.

Conventions

• Convention récepteur : pour un dipôle récepteur, $u$ et $i$ sont orientées en sens contraires ($u$ dans le sens de $i$ entrant par la borne $+$). On a alors $u\cdot i>0$ en fonctionnement récepteur.
• Convention générateur : $u$ et $i$ orientées dans le même sens (sortant par la borne $+$).
• Puissance reçue par un dipôle (convention récepteur) : $p=u\,i$. Dipôle générateur : $p<0$ fournit de la puissance.

ARQS

• Hypothèse : en régime variable de période $T$, la propagation des signaux dans le circuit est supposée instantanée. La taille $\ell$ du circuit doit être petite devant la longueur d'onde : $\ell\ll cT=\lambda\qquad\left(\lambda=\frac{c}{f}\right)$
• Conséquence : à chaque instant, lois des nœuds et des mailles s'appliquent comme en continu ; intensité homogène le long d'une branche.
• Domaine de validité : à $50\ \mathrm{Hz}$, $\lambda\approx 6000\ \mathrm{km}$, ARQS valable pour tout circuit de laboratoire. Invalide pour circuits de taille $\sim\lambda$ (lignes longue distance, hyperfréquences).

Ordres de grandeur

2. Dipôles linéaires R, L, C

Résistance

• Loi d'Ohm (convention récepteur) : $u=R\,i\qquad\Longleftrightarrow\qquad i=G\,u,\quad G=\frac{1}{R}$
• Ordres de grandeur : électronique $\Omega$–$\mathrm{M}\Omega$ ; puissance $\mathrm{m}\Omega$–$\Omega$.
• Puissance dissipée par effet Joule (toujours positive, toujours reçue par le dipôle) : $P_{\mathrm{J}}=R\,i^2=\frac{u^2}{R}=u\,i$
• La conversion est irréversible : énergie électrique dissipée en chaleur.

Condensateur

• Relation tension-courant (convention récepteur) : $i=C\,\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}t}\qquad\Longleftrightarrow\qquad u(t)=u(0)+\frac{1}{C}\int_0^t i(\tau)\,\mathrm{d}\tau$
• Continuité : $u$ est une fonction continue du temps (impossibilité d'une discontinuité de $u$ sans impulsion infinie de courant).
• Énergie stockée dans le champ électrique : $E_C=\frac{1}{2}\,C\,u^2$
• Ordres de grandeur : $\mathrm{pF}$–$\mu\mathrm{F}$ (électronique), jusqu'à $\mathrm{mF}$–$\mathrm{F}$ (stockage, supercondensateurs).

Bobine

• Relation tension-courant (convention récepteur) : $u=L\,\frac{\mathrm{d}i}{\mathrm{d}t}\qquad\Longleftrightarrow\qquad i(t)=i(0)+\frac{1}{L}\int_0^t u(\tau)\,\mathrm{d}\tau$
• Continuité : $i$ est une fonction continue du temps.
• Énergie stockée dans le champ magnétique : $E_L=\frac{1}{2}\,L\,i^2$
• Ordres de grandeur : $\mu\mathrm{H}$–$\mathrm{mH}$ (électronique), jusqu'à $\mathrm{H}$ (filtres secteur).

Modèle de Thévenin d'une source

• Une source linéaire est modélisée par l'association série d'une source idéale de tension $\mathcal{E}$ (force électromotrice, fem) et d'une résistance interne $R_0$.
• Tension aux bornes en convention générateur : $u=\mathcal{E}-R_0\,i$
• $\mathcal{E}$ : tension à vide ($i=0$). $R_0$ : pente de la caractéristique $u(i)$.
• Source idéale de tension : $R_0\to 0$ ($u=\mathcal{E}$ quelle que soit $i$).

3. Associations de deux résistances

Résistances équivalentes

• Série (même intensité) : $R_{\mathrm{eq}}=R_1+R_2$
• Parallèle (même tension) : $\frac{1}{R_{\mathrm{eq}}}=\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}\quad\Longleftrightarrow\quad R_{\mathrm{eq}}=\frac{R_1 R_2}{R_1+R_2}$

Diviseur de tension

Deux résistances $R_1$ et $R_2$ en série soumises à $U$ ; tension aux bornes de $R_2$ : $U_2=\frac{R_2}{R_1+R_2}\,U$

• Validité : la sortie doit être en circuit ouvert (aucun courant prélevé).

Diviseur de courant

Deux résistances $R_1$ et $R_2$ en parallèle parcourues par $I$ ; intensité dans $R_2$ : $I_2=\frac{R_1}{R_1+R_2}\,I\quad\left(=\frac{G_2}{G_1+G_2}\,I\right)$

• Validité : les deux branches partagent la même tension imposée par la source.

4. Résistances d'entrée et de sortie

• Résistance d'entrée $R_e$ d'un quadripôle : résistance « vue » depuis l'entrée, caractérisant le courant prélevé à la source. On l'évalue par $R_e=u_e/i_e$ (source éteinte en sortie si linéarité).
• Résistance de sortie $R_s$ : résistance « vue » depuis la sortie, modélisant la chute de tension lorsqu'un courant est débité. On l'évalue en éteignant la source d'entrée et en regardant depuis la sortie.

Conséquences pratiques

• GBF + charge : un GBF de résistance de sortie $R_s$ (typiquement $50\ \Omega$) délivre une tension amoindrie lorsqu'il alimente une charge $R_c$ : $u_c=\dfrac{R_c}{R_s+R_c}\,\mathcal{E}$. Charge faible $\Rightarrow$ atténuation notable.
• Mesure à l'oscilloscope / multimètre : l'appareil de mesure, d'impédance d'entrée $R_e$ (oscilloscope $\sim 1\ \mathrm{M}\Omega$, multimètre $\sim 10\ \mathrm{M}\Omega$), se met en parallèle du dipôle mesuré et perturbe la tension : $u_{\mathrm{mes}}=\frac{R_e}{R_{\mathrm{Th}}+R_e}\,u_{\mathrm{vide}}$
• $R_e\gg R_{\mathrm{Th}}$ : mesure fidèle. $R_e\sim R_{\mathrm{Th}}$ : atténuation et biais.
• Lecture de notice : repérer $R_e$, $R_s$, impédance d'entrée, pour prévoir l'effet sur le circuit.

5. Caractéristique d'un dipôle, point de fonctionnement

• Caractéristique : courbe $u(i)$ ou $i(u)$ d'un dipôle. Linéaire (résistance, source de Thévenin) ou non linéaire (diode, photorésistance, composants intégrés).
• Point de fonctionnement : intersection de la caractéristique du dipôle avec la droite de charge imposée par le reste du circuit. Pour un dipôle alimenté par une source de Thévenin $(\mathcal{E},R_0)$ : $u=\mathcal{E}-R_0\,i\quad\cap\quad u=f(i)\ \text{(caractéristique du dipôle)}$
• Tracé expérimental : balayer $u$ et $i$ avec une source variable, mesurer au multimètre (ou oscilloscope en mode XY), tracer $u=f(i)$.

Mise en œuvre d'un capteur

• Identifier la grandeur d'entrée (lumineuse, thermique, mécanique...) et la grandeur de sortie électrique ($R$, $u$, $i$).
• Tracer la caractéristique de transfert ; choisir un point de fonctionnement dans une zone linéaire ou sensible.
• Vérifier l'influence des résistances d'entrée/sortie des appareils sur la mesure.

6. Savoir-faire exigibles

• Justifier la compatibilité entre grandeurs électriques continues et quantification de la charge.
• Exprimer l'intensité comme débit de charge $i=\mathrm{d}q/\mathrm{d}t$.
• Énoncer la condition d'application de l'ARQS : $\ell\ll cT=\lambda$.
• Relier la loi des nœuds à la conservation de la charge.
• Utiliser la loi des mailles.
• Algébriser tensions et intensités ; utiliser conventions récepteur et générateur.
• Citer les ordres de grandeur des intensités et tensions dans différents domaines.
• Utiliser les relations $u(i)$ des dipôles R, L, C ; citer les ordres de grandeur de $R$, $L$, $C$.
• Exprimer la puissance Joule $P=Ri^2$ dans une résistance.
• Exprimer les énergies stockées $E_C=\tfrac12 C u^2$ et $E_L=\tfrac12 L i^2$.
• Modéliser une source par son équivalent de Thévenin $(\mathcal{E},R_0)$.
• Remplacer une association série ou parallèle de deux résistances par $R_{\mathrm{eq}}$.
• Établir et exploiter les diviseurs de tension et de courant.
• Évaluer une résistance d'entrée / sortie par lecture de notice ou mesure.
• Étudier l'influence de $R_e$ et $R_s$ sur le signal délivré par un GBF, sur la mesure à l'oscilloscope ou au multimètre.
• Étudier la caractéristique (éventuellement non linéaire) d'un dipôle ; mettre en œuvre un capteur dans un dispositif expérimental.

7. Pièges et points clés

• Algébrisation : orienter chaque branche et chaque tension avant tout calcul ; $i$ et $u$ sont des grandeurs signées, jamais absolues.
• Conventions : la même relation $u=Ri$ s'écrit $u=-Ri$ selon l'orientation choisie. Vérifier la cohérence convention récepteur / générateur.
• ARQS : $\ell\ll\lambda$ est une condition sur la taille du circuit, pas sur la fréquence seule ; pour des fréquences $\sim\mathrm{GHz}$, $\lambda\sim 30\ \mathrm{cm}$ et l'ARQS peut échouer sur un circuit d'électronique.
• Continuité : $u_C$ et $i_L$ sont continues — base des conditions initiales en régime transitoire.
• Diviseur de tension : n'est valable qu'à vide ; brancher une charge modifie la résistance équivalente vue de la source.
• Mesure : un oscilloscope ($R_e\sim 1\ \mathrm{M}\Omega$) ou un multimètre ($\sim 10\ \mathrm{M}\Omega$) n'est jamais parfait ; sur un diviseur à fortes résistances ($\sim\mathrm{M}\Omega$), il perturbe fortement la tension mesurée.