Fiche 1.3 — Circuit linéaire du premier ordre

Thème : Ondes et signaux (1) — Semestre : 1 — Chapitre : 1.3

Objectifs

Étudier l'évolution temporelle d'un signal dans un circuit linéaire du premier ordre (RC, RL), en régime libre ou soumis à un échelon, par mise en équation différentielle et résolution ; justifier les conditions de continuité ; réaliser un bilan énergétique ; mesurer un régime transitoire et le simuler numériquement par la méthode d'Euler.

1. Régimes d'évolution d'un système du premier ordre

• Régime libre : évolution du circuit après ouverture d'un interrupteur ou suppression de la source, sans excitation. La grandeur étudiée décroît vers $0$.
• Réponse à un échelon : passage brusque de la source d'une valeur $E_0$ à une valeur $E$ (le plus souvent $E_0=0$). La grandeur tend vers une valeur asymptotique constante.
• Régime transitoire : phase d'évolution où la grandeur varie avec le temps (durée de l'ordre de quelques $\tau$).
• Régime permanent : état asymptotique reached pour $t\to\infty$, où la grandeur devient constante (continu) ou périodique (cas forcé hors programme ici).
• Constante de temps $\tau$ : caractéristique du circuit, homogène à un temps.
  • Circuit RC : $\tau=RC$.
  • Circuit RL : $\tau=L/R$.
• Durée du régime transitoire : $\sim 5\tau$ (à $t=5\tau$, l'écart à la valeur asymptotique est $<1\ \%$).

2. Équation différentielle canonique du premier ordre

La mise en équation d'un circuit comportant une ou deux mailles, par application des lois de Kirchhoff et élimination des grandeurs accessoires, conduit à une équation différentielle linéaire du premier ordre à coefficients constants portant sur une grandeur électrique $y(t)$ (tension $u_C$ ou intensité $i_L$).

Forme canonique

• Réponse à un échelon (excitation constante $y_\infty$) : $\tau\, y'(t)+y(t)=y_\infty$

• Régime libre (excitation nulle) : $\tau\, y'(t)+y(t)=0$

• $y_\infty$ : valeur limite en régime permanent ($y_\infty$ imposée par les sources ; $y_\infty=0$ en régime libre).

• Validité : circuit linéaire, dipôles idéaux, échelon idéal ; domaines linéaires du condensateur ($q=Cu_C$) et de la bobine ($\Phi=Li_L$).

Établissement (exemples)

• RC série soumis à un échelon $E$ (loi des mailles, $i=C\, u'_C$) : $RC\, u'_C(t)+u_C(t)=E\quad\Longleftrightarrow\quad \tau\, u'_C+u_C=E$
• RL série soumis à un échelon $E$ (loi des mailles, $u_L=L\, i'_L$) : $\frac{L}{R}\, i'_L(t)+i_L(t)=\frac{E}{R}\quad\Longleftrightarrow\quad \tau\, i'_L+\frac{E}{R}\;\;\text{avec}\;\tau=\frac{L}{R}$

3. Solutions temporelles

Régime libre

$y(t)=A\, e^{-t/\tau}$

• $A$ fixé par la condition initiale $y(0)=y_0$ : $A=y_0$.
• Décroissance exponentielle vers $0$ ; à $t=\tau$, $y(\tau)=y_0/e\approx 0{,}37\, y_0$.

Réponse à un échelon (excitation constante $y_\infty$)

$y(t)=y_\infty+\bigl(y_0-y_\infty\bigr)\, e^{-t/\tau}$

• $y_0=y(0^+)$ : valeur juste après la transition (fixée par continuité).
• $y_\infty$ : valeur finale ($y(+\infty)=y_\infty$).
• Décomposition : régime permanent $y_\infty$ + régime transitoire $(y_0-y_\infty)e^{-t/\tau}$.
• Cas particulier $y_0=0$ (charge partant de zéro) : $y(t)=y_\infty\bigl(1-e^{-t/\tau}\bigr)$.

4. Continuité des grandeurs d'état

• Continuité de $u_C$ (tension aux bornes d'un condensateur) : $u_C(t^+)=u_C(t^-)$.
• Continuité de $i_L$ (intensité traversant une bobine) : $i_L(t^+)=i_L(t^-)$.

Justification physique

• Condensateur : énergie stockée $E_C=\dfrac{1}{2}Cu_C^{\,2}$. Une variation instantanée de $u_C$ imposerait une puissance $P=dE_C/dt$ infinie, soit un courant $i=C\, u'_C$ infini — physiquement impossible. Donc $u_C$ reste continue.

• Bobine : énergie stockée $E_L=\dfrac{1}{2}Li_L^{\,2}$. Une variation instantanée de $i_L$ imposerait une tension $u_L=L\, i'_L$ infinie — physiquement impossible. Donc $i_L$ reste continue.

• Usage pratique : les conditions de continuité de $u_C$ et $i_L$ fournissent les conditions initiales nécessaires à la détermination des constantes d'intégration lors d'une commutation.

• Intensité et tension aux autres endroits du circuit (autres que $u_C$ et $i_L$) ne sont pas a priori continues.

5. Bilan énergétique

Énergies stockées

• Condensateur : $E_C=\dfrac{1}{2}Cu_C^{\,2}$.
• Bobine : $E_L=\dfrac{1}{2}Li_L^{\,2}$.

Dissipation par effet Joule

• Résistor : $P_J=R\, i^{\,2}$, énergie dissipée sur $[t_0,t]$ : $W_J(t)=\int_{t_0}^{t} R\, i(t')^{\,2}\, dt'$

Bilan

Pour un circuit fermé sur lui-même (régime libre), l'énergie initialement stockée dans le condensateur ou la bobine est intégralement dissipée par effet Joule dans la résistance :

$\Delta E_{\text{stockée}}+W_J=0\qquad\Longrightarrow\qquad E_{\text{stockée}}(t_0)=W_J(+\infty)$

Pour une réponse à un échelon, l'énergie fournie par la source se répartit entre énergie stockée à l'instant final et énergie dissipée par Joule ; l'écart provient du travail de la source.

6. Méthode d'Euler explicite (capacité numérique)

La méthode d'Euler permet d'intégrer numériquement l'équation différentielle $\tau\, y'(t)+y(t)=g(t)$ pour une excitation de forme quelconque (pas seulement un échelon).

Schéma

1. Réécrire sous la forme : $y'(t)=\dfrac{g(t)-y(t)}{\tau}$.
2. Discrétiser le temps : $t_n=n\,\Delta t$, avec $\Delta t$ petit devant $\tau$ (typiquement $\Delta t\lesssim \tau/100$).
3. Itérer : $y_{n+1}=y_n+\Delta t\cdot \frac{g(t_n)-y_n}{\tau}$

• Condition initiale : $y_0$ fixée (par continuité de $u_C$ ou $i_L$).
• Excitation arbitraire $g(t)$ : fonction quelconque programmée dans la boucle (échelon, rampe, créneau, sinus...).
• Stabilité : pour un schéma explicite, $\Delta t$ doit être suffisamment petit ; un $\Delta t$ trop grand provoque une dérive voire une instabilité.
• Langage : Python (boucle for, listes, tracé matplotlib) ; vectorisable via numpy.

7. Savoir-faire exigibles

• Distinguer, sur un relevé expérimental, régime transitoire et régime permanent au cours de l'évolution d'un système du premier ordre soumis à un échelon de tension.
• Interpréter et utiliser la continuité de $u_C$ (condensateur) et de $i_L$ (bobine) pour déterminer les conditions initiales.
• Établir l'équation différentielle du premier ordre vérifiée par une grandeur électrique dans un circuit comportant une ou deux mailles.
• Déterminer la réponse temporelle dans le cas d'un régime libre ou d'un échelon de tension (résolution analytique, identification des constantes).
• Déterminer un ordre de grandeur de la durée du régime transitoire ($\sim 5\tau$).
• Réaliser l'acquisition d'un régime transitoire pour un circuit linéaire du premier ordre et analyser ses caractéristiques ($\tau$, régime permanent, continuité).
• Confronter les résultats expérimentaux aux expressions théoriques (mesure de $\tau$, validation de la forme exponentielle).
• Réaliser un bilan énergétique : énergie stockée vs énergie dissipée par effet Joule.
• Mettre en œuvre la méthode d'Euler à l'aide d'un langage de programmation pour simuler la réponse d'un système linéaire du premier ordre à une excitation de forme quelconque.

8. Pièges et points clés

• Continuité : seules $u_C$ et $i_L$ sont continues ; $i$ dans une branche capacitive et $u$ aux bornes d'une bobine peuvent être discontinues lors d'une commutation.
• $y_\infty$ dépend du circuit : déterminer sa valeur en régime permanent (condensateur $\Leftrightarrow$ interrupteur ouvert, $i=0$ ; bobine $\Leftrightarrow$ fil, $u_L=0$).
• Régime libre $\neq$ réponse à un échelon : équation homogène vs second membre constant ; bien identifier la situation avant d'écrire la solution.
• Constantes d'intégration : déterminées par la condition initiale ET la continuité ; ne pas oublier $y(0^+)=y(0^-)$.
• $\tau$ s'exprime en secondes : vérifier l'homogénéité ($RC$ : $\Omega\cdot\mathrm{F}=\mathrm{s}$ ; $L/R$ : $\mathrm{H}/\Omega=\mathrm{s}$).
• Méthode d'Euler : choisir $\Delta t\ll\tau$ ; trop grand $\Rightarrow$ dérive numérique. Tester la convergence en réduisant $\Delta t$.
• Bilan d'énergie : en régime libre, toute l'énergie initiale est dissipée en Joule ($E_{\text{init}}=W_J$) ; en cas d'échelon, ne pas oublier le travail fourni par la source.
• Acquisition expérimentale : choisir la durée d'acquisition $\sim 5\tau$ pour capturer tout le régime transitoire ; vérifier que la période d'échantillonnage est suffisamment faible devant $\tau$.