Fiche 1.4 — Oscillateurs libres et forcés

Thème : Ondes et signaux (1) — Semestre : 1 — Chapitre : 1.4

Objectifs

Modéliser les oscillateurs linéaires du second ordre, mécaniques (masse-ressort avec frottement visqueux) et électroniques (LC puis RLC série), établir et résoudre leurs équations canoniques en régime libre et en régime forcé sinusoïdal, caractériser les régimes transitoires selon le facteur de qualité, réaliser des bilans énergétiques de stockage et de dissipation, et mettre en évidence l'analogie formelle entre les deux disciplines.

1. Oscillateur harmonique non amorti

Définition et équation canonique

Un système est un oscillateur harmonique lorsque son évolution est régie par une équation différentielle linéaire du second ordre sans terme d'amortissement ni excitation :

$\ddot x+\omega_0^{\,2}\,x=0$

• $\omega_0$ : pulsation propre (en $\mathrm{rad\cdot s^{-1}}$) ; $T_0=2\pi/\omega_0$ : période propre ; $f_0=1/T_0$.
• Validité : système linéaire, perturbations de faible amplitude (ressort tel que $T=k\,\Delta\ell$), pas de pertes.

Solution

Solution générale, linéaireisation des conditions initiales $x(0)=x_0$, $\dot x(0)=v_0$ :

$x(t)=A\cos(\omega_0 t)+B\sin(\omega_0 t)\quad\text{avec}\quad A=x_0,\quad B=\dfrac{v_0}{\omega_0}$

Forme amplitude-phase :

$x(t)=X_m\cos(\omega_0 t+\varphi),\qquad X_m=\sqrt{x_0^{\,2}+\dfrac{v_0^{\,2}}{\omega_0^{\,2}}},\qquad \tan\varphi=-\dfrac{v_0}{\omega_0 x_0}$

Exemples canoniques

Analogie mécanique/électronique : $x\leftrightarrow q$, $m\leftrightarrow L$, $k\leftrightarrow 1/C$, $\dot x\leftrightarrow i$.

Bilan énergétique (conservation)

• Mécanique : $E_c=\dfrac{1}{2}m\dot x^{\,2}$, $E_p=\dfrac{1}{2}kx^{\,2}$, $E_m=E_c+E_p=\dfrac{1}{2}kX_m^{\,2}=\mathrm{cte}$.
• Électrique : $E_L=\dfrac{1}{2}Li^{\,2}$, $E_C=\dfrac{q^{\,2}}{2C}$, $E=E_L+E_C=\mathrm{cte}$.
• Échange périodique entre les deux formes d'énergie à la pulsation $2\omega_0$.

Ordres de grandeur

• Masse-ressort de laboratoire : $m\approx 100\ \mathrm{g}$, $k\approx 10\ \mathrm{N\cdot m^{-1}}$ $\Rightarrow$ $T_0\approx 0{,}6\ \mathrm{s}$.
• Circuit LC : $L\approx 10\ \mathrm{mH}$, $C\approx 1\ \mathrm{\mu F}$ $\Rightarrow$ $f_0\approx 1{,}6\ \mathrm{kHz}$.

2. Oscillateur amorti — équation canonique

Modèles

• Mécanique : masse $m$ soumise à un ressort $k$ et à une force de frottement fluide $-\alpha\dot x$.
• Électrique : circuit RLC série avec résistance $R$, bobine $L$, condensateur $C$ ; grandeur étudiée $q(t)$ (ou $u_C$).

Équation du second ordre à coefficients constants :

$\ddot x+2\lambda\,\dot x+\omega_0^{\,2}\,x=0\qquad\text{soit}\qquad \ddot x+\dfrac{\omega_0}{Q}\dot x+\omega_0^{\,2}\,x=0$

• $2\lambda=\omega_0/Q$ : amortissement réduisant ; $\lambda$ en $\mathrm{s^{-1}}$.
• Facteur de qualité : $Q=\dfrac{\omega_0}{2\lambda}$.

Correspondances

Validité : frottement visqueux (linéaire en $\dot x$), RLC linéaire (bobine et condensateur idéaux).

3. Régimes libres selon $Q$

Polynôme caractéristique

On cherche $x(t)=X\,e^{rt}$, d'où :

$r^{\,2}+\dfrac{\omega_0}{Q}\,r+\omega_0^{\,2}=0,\qquad \Delta=\omega_0^{\,2}\left(\dfrac{1}{Q^{\,2}}-4\right)$

Pseudo-pulsation

$\omega_r=\omega_0\sqrt{1-\dfrac{1}{4Q^{\,2}}}$

Pour $Q\gg1$, $\omega_r\approx\omega_0$.

Régime pseudo-périodique

$x(t)=e^{-\lambda t}\big[X_m\cos(\omega_r t+\varphi)\big]$

Pseudo-période : $T_r=2\pi/\omega_r$. Décrément logarithmique :

$\delta=\ln\dfrac{x(t)}{x(t+T_r)}=\lambda T_r=\dfrac{\pi}{\sqrt{Q^{\,2}-1/4}}$

Durée du transitoire

Ordre de grandeur (régime pseudo-périodique) :

$\tau\sim\dfrac{Q}{\omega_0}\quad\text{(soit } \sim\dfrac{2Q}{\omega_0}\text{ selon convention)}$

Le régime libre est considéré comme établi (transitoire achevé) au bout de quelques $\tau$.

Réponse à un échelon

Pour une excitation constante (entrée $E$) :

$\ddot x+\dfrac{\omega_0}{Q}\dot x+\omega_0^{\,2}\,x=\omega_0^{\,2}\,E$

• Solution = régime transitoire (ci-dessus) + régime permanent $x_{\mathrm{perm}}=E$.
• Réponse d'un système du second ordre à un échelon : dépassement, temps de montée et oscillations dépendent de $Q$ (limite de stabilité : $Q$ grand $\Rightarrow$ fort dépassement).

4. Stockage et dissipation d'énergie

Bilan instantané (RLC série, libre)

$\dfrac{d}{dt}\!\left(\dfrac{1}{2}Li^{\,2}+\dfrac{q^{\,2}}{2C}\right)=-Ri^{\,2}$

• Terme de gauche : variation de l'énergie stockée ($E_L+E_C$).
• Terme de droite : puissance dissipée par effet Joule dans $R$ (toujours $\geq 0$).
• Mécanique : $\dfrac{dE_m}{dt}=-\alpha\dot x^{\,2}$ (puissance dissipée par le frottement).

Interprétation du facteur de qualité

$Q=2\pi\dfrac{E_{\mathrm{stock\acute{e}e}}}{E_{\mathrm{dissip\acute{e}e\ par\ p\acute{e}riode}}}$

Plus $Q$ est grand, plus la dissipation est faible par rapport à l'énergie stockée : oscillations persistantes.

5. Impédances complexes

Définitions

En régime sinusoïdal forcé de pulsation $\omega$, grandeur $g(t)=G_m\cos(\omega t+\varphi_g)$ associée à la représentation complexe $\underline{g}=G_m e^{j\varphi_g}$.

$\underline{Z}=\dfrac{\underline{u}}{\underline{i}}\qquad(j^{\,2}=-1)$

• $u_R$ et $i$ en phase ; $u_C$ en retard de $\pi/2$ sur $i$ ; $u_L$ en avance de $\pi/2$ sur $i$.
• Validité : dipoles linéaires, idéaux (R, L, C parfaits).

Association de deux impédances

• Série : $\underline{Z}_{\mathrm{eq}}=\underline{Z}_1+\underline{Z}_2$.
• Parallèle : $\dfrac{1}{\underline{Z}_{\mathrm{eq}}}=\dfrac{1}{\underline{Z}_1}+\dfrac{1}{\underline{Z}_2}$, soit $\underline{Z}_{\mathrm{eq}}=\dfrac{\underline{Z}_1\,\underline{Z}_2}{\underline{Z}_1+\underline{Z}_2}$.

6. Oscillateur forcé sinusoïdal — résonance

Mise en équation

Excitation sinusoïdale de pulsation $\omega$ (RLC série soumis à $e(t)=E_m\cos\omega t$, ou masse soumise à $F(t)=F_m\cos\omega t$) :

$\ddot x+\dfrac{\omega_0}{Q}\dot x+\omega_0^{\,2}\,x=\omega_0^{\,2}\,E_m\cos\omega t$

En régime permanent (après le transitoire), la réponse est sinusoïdale à la même pulsation $\omega$.

Représentation complexe

On pose $\underline{e}=E_m$ (phase de référence) et $\underline{x}$ l'amplitude complexe :

$\underline{H}(\omega)=\dfrac{\underline{x}}{\underline{e}}=\dfrac{\omega_0^{\,2}}{\omega_0^{\,2}-\omega^{\,2}+j\,\dfrac{\omega_0\omega}{Q}}$

• Module : $|\underline{H}|=\dfrac{\omega_0^{\,2}}{\sqrt{(\omega_0^{\,2}-\omega^{\,2})^{\,2}+\left(\dfrac{\omega_0\omega}{Q}\right)^{\,2}}}$.
• Phase : $\varphi=-\arctan\dfrac{\omega_0\omega/Q}{\omega_0^{\,2}-\omega^{\,2}}$.

Résonance en élongation (passe-bas)

• $|\underline{H}|$ passe par un maximum si $Q>\dfrac{1}{\sqrt{2}}$.
• Pulsation de résonance : $\omega_r=\omega_0\sqrt{1-\dfrac{1}{2Q^{\,2}}}$.
• Valeur maximale : $|\underline{H}|_{\max}=\dfrac{Q}{\omega_0\sqrt{1-1/(4Q^{\,2})}}$ ; pour $Q\gg1$, $|\underline{H}|_{\max}\approx Q$.
• Comportement passe-bas : amplification autour de $\omega_0$, atténuation aux hautes fréquences.
• Pas de résonance si $Q\leq\dfrac{1}{\sqrt{2}}$.

Résonance en vitesse (passe-bande)

La grandeur $\dot x$ (ou courant $i=\dot q$ en électricité) possède une réponse :

$\underline{H}_v(\omega)=\dfrac{\underline{\dot x}}{\underline{e}}=\dfrac{j\omega\,\omega_0^{\,2}}{\omega_0^{\,2}-\omega^{\,2}+j\,\dfrac{\omega_0\omega}{Q}}$

• Résonance toujours présente, à $\omega=\omega_0$.
• Comportement passe-bande : sélectivité en fréquence.

Bande passante à $-3\ \mathrm{dB}$

Pour $Q\gg1$ (acuité de résonance) :

$\Delta\omega\approx\dfrac{\omega_0}{Q}$

• Acuité de la résonance $\Leftrightarrow$ facteur de qualité : résonance d'autant plus aiguë que $Q$ est grand.
• Aux extrémités de la bande passante, $|\underline{H}|=|\underline{H}|_{\max}/\sqrt{2}$.

Lecture graphique

À partir des courbes expérimentales d'amplitude et de phase :

• $\omega_0$ : abscisse du maximum de la vitesse, ou du point d'inflexion / de phase $-\pi/2$ de l'élongation.
• $Q$ : largeur de la bande passante ($Q=\omega_0/\Delta\omega$) ou hauteur du pic ($Q\approx$ gain maximal pour $Q\gg1$).

Capacités expérimentales

• Réaliser l'acquisition d'un régime transitoire du second ordre ; identifier $Q$, $\omega_0$, $\lambda$ par relevé du décrément logarithmique ou de la durée du transitoire.
• Mettre en œuvre un dispositif de résonance (excitateur + résonateur, GBF + RLC, sismomètre, flash) ; tracer amplitude et phase en fonction de $\omega$ ; extraire $\omega_0$, $Q$, $\Delta\omega$.
• Vérifier la cohérence avec le bilan énergétique et l'estimation de la dissipation.

7. Savoir-faire exigibles

• Établir et reconnaître l'équation différentielle d'un oscillateur harmonique ; la résoudre avec les conditions initiales (forme $A\cos+B\sin$ ou amplitude-phase).
• Caractériser le mouvement par amplitude, phase, période, fréquence, pulsation.
• Réaliser un bilan énergétique d'un oscillateur harmonique (conservation, échange entre formes d'énergie).
• Identifier l'oscillateur amorti (masse + frottement visqueux, RLC série) et écrire l'équation sous forme canonique $\ddot x+\dfrac{\omega_0}{Q}\dot x+\omega_0^{\,2}x=0$.
• Extraire pulsation propre $\omega_0$ et facteur de qualité $Q$ de l'équation canonique.
• Analyser sur des relevés expérimentaux l'évolution des régimes transitoires selon $Q$.
• Prévoir l'évolution du système par des considérations énergétiques (stockage/dissipation).
• Décrire la nature de la réponse (apériodique, critique, pseudo-périodique) en fonction de $Q$.
• Déterminer la réponse détaillée en régime libre ou pour un échelon en recherchant les racines du polynôme caractéristique.
• Estimer un ordre de grandeur de la durée du transitoire ($\sim Q/\omega_0$).
• Mettre en évidence la similitude des comportements des oscillateurs mécanique et électronique.
• Réaliser l'acquisition d'un régime transitoire du second ordre et analyser ses caractéristiques.
• Établir et connaître les impédances complexes de $R$, $L$, $C$ ; raisonner en amplitude complexe.
• Remplacer une association série ou parallèle de deux impédances par une impédance équivalente.
• Utiliser la représentation complexe pour étudier le régime forcé sinusoïdal.
• Relier l'acuité de la résonance au facteur de qualité ; exprimer la bande passante $\Delta\omega\approx\omega_0/Q$.
• Déterminer $\omega_0$ et $Q$ à partir de graphes expérimentaux d'amplitude et de phase.
• Mettre en œuvre un dispositif de résonance (RLC + GBF, sismomètre, flash) et caractériser les régimes transitoires du premier et du second ordre.

8. Pièges et points clés

• Pulsation propre vs pulsation de résonance : $\omega_0$ est un paramètre du système ; $\omega_r$ dépend du régime et de la grandeur observée ($\omega_r=\omega_0\sqrt{1-1/(4Q^2)}$ en libre, $\omega_0\sqrt{1-1/(2Q^2)}$ en forcé élongation, $\omega_0$ en vitesse).
• Le facteur de qualité n'est pas l'amortissement : $Q$ grand $\Leftrightarrow$ amortissement faible. Seuil du régime pseudo-périodique : $Q>1/2$, seuil d'existence d'une résonance en élongation : $Q>1/\sqrt{2}$.
• L'écriture $Q=\omega_0/(2\lambda)$ et $Q=2\pi E_{\mathrm{stock}}/E_{\mathrm{diss}}$ est équivalente : choisir la forme adaptée au contexte.
• La représentation complexe ne décrit que le régime permanent sinusoïdal : elle n'est pas pertinente pendant le transitoire.
• Le condensateur déphase en retard, la bobine en avance ; ne pas confondre les signes des arguments de $\underline{Z}_C$ et $\underline{Z}_L$.
• Le régime critique n'est pas le plus rapide à atteindre l'équilibre en valeur absolue mais le plus rapide sans dépassement : privilégié en asservissement.
• Vérifier l'homogénéité des expressions : $\omega_0$ en $\mathrm{rad\cdot s^{-1}}$, $Q$ sans dimension, $\underline{Z}$ en ohms.
• Toujours préciser la grandeur dont on étudie la résonance (élongation $q$, $x$ : passe-bas ; vitesse $i$, $\dot x$ : passe-bande).
• L'analogie mécanique/électronique repose sur le tableau $x\leftrightarrow q$, $\dot x\leftrightarrow i$, $m\leftrightarrow L$, $k\leftrightarrow 1/C$, $\alpha\leftrightarrow R$ : s'en servir pour transposer résultats et bilans.