Fiche 1.5 — Filtrage linéaire

Thème : Ondes et signaux (1) — Semestre : 1 — Chapitre : 1.5

Objectifs

Mettre l'accent sur l'interprétation du signal de sortie connaissant l'entrée et sur le rôle central de la linéarité, plutôt que sur la maîtrise technique des calculs de fonctions de transfert et de tracés de Bode. Analyser la réponse d'un système linéaire à une excitation sinusoïdale, à une somme d'excitations ou à un signal périodique à partir de son spectre. Choisir un filtre selon un cahier des charges et comprendre l'intérêt d'adapter les impédances pour la mise en cascade. Découvrir l'ALI idéal en régime linéaire et ses montages de base, sans dérive calculatoire.

1. Signaux périodiques : décomposition en série de Fourier

• Signal périodique de période $T$ : tout signal $s(t)$ tel que $s(t+T)=s(t)$.
• Décomposition en série de Fourier (fournie, non démontrée) : $s(t)=s_0+\sum_{k=1}^{\infty} S_{k,\mathrm{m}}\cos(k\omega t+\varphi_k),\qquad \omega=\frac{2\pi}{T}$ où $s_0=\langle s\rangle$ est la composante continue (valeur moyenne) et les $S_{k,\mathrm{m}}\cos(k\omega t+\varphi_k)$ sont les harmoniques de rang $k$ ($k=1$ : fondamental).
• Spectre : représentation des amplitudes $S_{k,\mathrm{m}}$ (et des phases $\varphi_k$) en fonction de la fréquence $f=k/T$.

Valeur moyenne

$\langle s\rangle=\frac{1}{T}\int_0^T s(t)\,\mathrm{d}t$

• Composante continue du signal. Pour un signal sans offset, $\langle s\rangle=0$.

Valeur efficace

$S_{\mathrm{eff}}=\sqrt{\frac{1}{T}\int_0^T s^2(t)\,\mathrm{d}t}=\sqrt{\langle s^2\rangle}$

• Grandeur homogène à $s$, qui dissiperait en moyenne la même puissance qu'un signal continu dans une résistance.
• Cas d'une sinusoïde pure $s(t)=S_{\mathrm{m}}\cos\omega t$ : $S_{\mathrm{eff}}=\frac{S_{\mathrm{m}}}{\sqrt{2}}$ (calcul : $\langle \cos^2\rangle=1/2$).
• Avec composante continue $s(t)=s_0+S_{\mathrm{m}}\cos\omega t$ : $S_{\mathrm{eff}}=\sqrt{s_0^{\,2}+S_{\mathrm{m}}^2/2}$.

Théorème de Parseval

$S_{\mathrm{eff}}^{\,2}=\langle s\rangle^2+\sum_{k=1}^{\infty} S_{k,\mathrm{eff}}^{\,2}=\langle s\rangle^2+\sum_{k=1}^{\infty}\frac{S_{k,\mathrm{m}}^{\,2}}{2}$

• La puissance (le carré efficace) du signal est la somme des puissances des composantes spectrales : les harmoniques sont orthogonales en moyenne.
• Permet de reconstituer la valeur efficace à partir du spectre fourni.

2. Fonction de transfert harmonique

Définition

Pour un système linéaire en régime sinusoïdal forcé, on note $\underline{e}(t)=E_{\mathrm{m}}\,\mathrm{e}^{j\omega t}$ et $\underline{s}(t)=S_{\mathrm{m}}\,\mathrm{e}^{j\omega t}\,\mathrm{e}^{j\varphi}$. La fonction de transfert harmonique est :

$H(j\omega)=\frac{\underline{s}}{\underline{e}}$

• $H$ dépend de $\omega$ (ou de $f$) ; elle est en général complexe.
• Hypothèse : système linéaire, initialement au repos (régime permanent sinusoïdal).

Gain et phase

• Gain : $G(\omega)=|H(j\omega)|=\dfrac{S_{\mathrm{m}}}{E_{\mathrm{m}}}$ (sans dimension).
• Gain en décibels : $G_{\mathrm{dB}}=20\log G$.
• Phase : $\varphi(\omega)=\arg H(j\omega)$ (déphasage de la sortie sur l'entrée).

3. Diagramme de Bode

Représentation

Deux courbes en fonction de $\omega$ (ou $f$), en échelle logarithmique sur l'axe des pulsations :

• Diagramme de gain : $G_{\mathrm{dB}}=20\log G$ en fonction de $\log\omega$.
• Diagramme de phase : $\varphi$ en fonction de $\log\omega$.

Lecture et asymptotes

• Zones rectilignes : portions où $G_{\mathrm{dB}}$ varie linéairement avec $\log\omega$ ; pente en $\mathrm{dB/decade}$ ($1\ \mathrm{dec}=facteur\ 10$) ou $\mathrm{dB/octave}$ ($1\ \mathrm{oct}=facteur\ 2$).
• Asymptotes : droites limite de $G_{\mathrm{dB}}$ en basse et haute fréquence, déduites de l'expression de $H$ en négligeant certains termes.
• Pulsation de coupure $\omega_c$ : définie par $G_{\mathrm{dB}}(\omega_c)=G_{\mathrm{dB,max}}-3\ \mathrm{dB}$, soit $G(\omega_c)=G_{\mathrm{max}}/\sqrt{2}$. Délimite la bande passante.

4. Filtres passifs d'ordre 1

Passe-bas RC

$H(j\omega)=\frac{1}{1+j\omega/\omega_c},\qquad \omega_c=\frac{1}{RC}$

• $G\to 1$ ($0\ \mathrm{dB}$) quand $\omega\to 0$ ; $G\sim \omega_c/\omega$ (pente $-20\ \mathrm{dB/dec}$) quand $\omega\to\infty$.
• $\varphi\to 0$ en BF, $\varphi\to -\pi/2$ en HF, $\varphi(\omega_c)=-\pi/4$.
• Bande passante : $[0,\omega_c]$.

Passe-haut CR

$H(j\omega)=\frac{1}{1+1/(j\omega/\omega_c)}=\frac{j\omega/\omega_c}{1+j\omega/\omega_c},\qquad \omega_c=\frac{1}{RC}$

• $G\to 0$ ($-\infty\ \mathrm{dB}$) en BF (pente $+20\ \mathrm{dB/dec}$) ; $G\to 1$ en HF.
• $\varphi\to +\pi/2$ en BF, $\varphi\to 0$ en HF, $\varphi(\omega_c)=+\pi/4$.
• Bande passante : $[\omega_c,+\infty[$.

Conditions particulières

• Moyenneur (passe-bas en BF, $\omega\ll\omega_c$) : $H\approx 1$, la sortie reproduit l'entrée ; la composante continue est transmise.
• Intégrateur (passe-bas en HF, $\omega\gg\omega_c$) : $H\approx \omega_c/(j\omega)$, soit $\underline{s}\approx \dfrac{1}{RC}\dfrac{\underline{e}}{j\omega}$ : $s(t)$ est proportionnelle à $\int e(t)\,\mathrm{d}t$.
• Dérivateur (passe-haut en BF, $\omega\ll\omega_c$) : $H\approx j\omega/\omega_c$, soit $\underline{s}\approx RC\,j\omega\,\underline{e}$ : $s(t)$ proportionnelle à $\mathrm{d}e/\mathrm{d}t$.

5. Filtres passifs d'ordre 2

Forme canonique

$H(j\omega)=\frac{K}{1+(j\omega/\omega_0)/Q+(j\omega/\omega_0)^2}$

• $\omega_0$ : pulsation propre ; $Q$ : facteur de qualité ; $K$ : gain statique.
• Résonance possible pour $Q>1/\sqrt{2}$ (passe-bande et passe-bas).

Passe-bas d'ordre 2

$H(j\omega)=\frac{K}{1+(j\omega/\omega_0)/Q+(j\omega/\omega_0)^2}$

• $G\to K$ en BF ; pente asymptotique $-40\ \mathrm{dB/dec}$ en HF. Résonance en gain si $Q>1/\sqrt{2}$ à $\omega_r=\omega_0\sqrt{1-1/(2Q^2)}$.

Passe-bande d'ordre 2

$H(j\omega)=\frac{K\,(j\omega/\omega_0)/Q}{1+(j\omega/\omega_0)/Q+(j\omega/\omega_0)^2}$

• $G\to 0$ en BF et HF ; maximum en $\omega_0$ ($G_{\mathrm{max}}=K$). Largeur de bande $\Delta\omega\approx\omega_0/Q$ (sélectivité).

6. Mise en cascade de filtres

• Problème : charger un filtre par le suivant modifie sa fonction de transfert (effet de charge).
• Solution : utiliser des filtres de tension à forte impédance d'entrée et faible impédance de sortie, afin que chaque étage n'absorbe qu'un courant négligeable et fournisse une sortie idéale de tension.
• En pratique, on insère des étages tampons (suiveur) entre filtres passifs, ou on utilise des filtres actifs (ALI, §8).

7. Filtrage de signaux non sinusoïdaux

Principe

• Décomposer le signal d'entrée en série de Fourier : $e(t)=\sum_k E_{k,\mathrm{m}}\cos(k\omega t+\varphi_k)$.
• Par linéarité, chaque harmonique est filtrée par $H(jk\omega)$ : $s(t)=\sum_k |H(jk\omega)|\,E_{k,\mathrm{m}}\cos\!\big(k\omega t+\varphi_k+\arg H(jk\omega)\big)$
• Le filtre agit composante par composante dans le domaine fréquentiel.

Détection d'une non-linéarité

• Un système linéaire ne crée aucune fréquence absente de l'entrée : le spectre de sortie est inclus dans celui de l'entrée.
• L'apparition de nouvelles fréquences (harmoniques d'un sinusoïdal pur, intermodulation) traduit une non-linéarité du système (saturation, seuil, etc.).

Capacités numérique et expérimentale

• Simuler (langage de programmation) l'action d'un filtre sur un signal périodique de spectre fourni : calculer $S_{k,\mathrm{m}}=|H(jk\omega)|E_{k,\mathrm{m}}$ et $\varphi'_k=\varphi_k+\arg H(jk\omega)$, reconstruire $s(t)$, et mettre en évidence l'influence des caractéristiques du filtre ($\omega_c$, $Q$, ordre) sur le filtrage.
• Mettre en œuvre un dispositif expérimental illustrant l'utilité des fonctions de transfert pour un système à un ou plusieurs étages : mesurer $G$ et $\varphi$ au logiciel d'acquisition, tracer Bode, comparer au modèle.
• Expliquer la nature du filtrage introduit par un dispositif mécanique (sismomètre, amortisseur, accéléromètre) : identifier passe-bas, passe-haut ou passe-bande selon la grandeur de sortie et la plage de fréquences utile.

8. Filtres actifs — ALI idéal en régime linéaire

ALI idéal : modèle

• Amplificateur Linéaire Intégré, modélisé par :
  • Courants d'entrée nuls : $i_+=0$ et $i_-=0$.
  • Tension différentielle nulle : $\varepsilon=v_+-v_-=0$ en régime linéaire.
• Condition de fonctionnement linéaire : présence d'une rétroaction (boucle de contre-réaction) sur l'entrée inverseuse. Son absence signe un fonctionnement en régime saturé (comparateur).
• L'ALI est ici une découverte : on n'entre pas dans les détails internes ni dans des dérives calculatoires.

Montages fondamentaux

• Non inverseur : entrée sur $+$, boucle $R_1$–$R_2$ sur $-$. Gain $G=1+R_2/R_1>1$. Forte impédance d'entrée, faible impédance de sortie.
• Suiveur : cas particulier $R_1=\infty$, $R_2=0$. Adaptateur d'impédance idéal (tampon).
• Inverseur : entrée sur $-$ via $R_1$, boucle $R_2$. Masse virtuelle sur $-$ ($v_-=0$). Impédance d'entrée $R_1$.
• Intégrateur : inverseur avec condensateur en boucle ; réaliser un filtrage actif passe-bas ou une intégration analogique.

Filtres actifs

• Association ALI + réseau RC pour réaliser un filtre sans problème de charge et avec gain $>1$ possible.
• Mettre en œuvre un filtre actif : câbler, vérifier le régime linéaire (rétroaction sur $-$), mesurer la fonction de transfert.

9. Savoir-faire exigibles

• Analyser la décomposition fournie d'un signal périodique en somme de fonctions sinusoïdales (identifier fondamental, harmoniques, composante continue).
• Définir la valeur moyenne et la valeur efficace d'un signal ; les calculer par intégration.
• Établir par le calcul la valeur efficace d'un signal sinusoïdal ($S_{\mathrm{eff}}=S_{\mathrm{m}}/\sqrt{2}$).
• Interpréter le théorème de Parseval : le carré de la valeur efficace d'un signal périodique est la somme des carrés des valeurs efficaces de ses harmoniques.
• Tracer le diagramme de Bode (gain et phase) associé à une fonction de transfert d'ordre 1.
• Utiliser une fonction de transfert donnée d'ordre 1 ou 2 (ou ses représentations graphiques) pour étudier la réponse d'un système linéaire à une excitation sinusoïdale, à une somme finie d'excitations sinusoïdales, à un signal périodique.
• Manipuler les échelles logarithmiques et interpréter les zones rectilignes des diagrammes de Bode en amplitude à partir de l'expression de $H$.
• Mettre en œuvre un dispositif expérimental illustrant l'utilité des fonctions de transfert pour un système linéaire à un ou plusieurs étages.
• Choisir un modèle de filtre (passe-bas/haut/bande, ordre 1 ou 2) en fonction d'un cahier des charges.
• Expliciter les conditions d'utilisation d'un filtre comme moyenneur, intégrateur ou dérivateur.
• Expliquer l'intérêt, pour la mise en cascade, de filtres à forte impédance d'entrée et faible impédance de sortie.
• Expliquer la nature du filtrage introduit par un dispositif mécanique (sismomètre, amortisseur, accéléromètre).
• Étudier le filtrage linéaire d'un signal non sinusoïdal à partir d'une analyse spectrale.
• Détecter le caractère non linéaire d'un système par l'apparition de nouvelles fréquences dans le spectre de sortie.
• Capacité numérique : simuler, à l'aide d'un langage de programmation, l'action d'un filtre sur un signal périodique dont le spectre est fourni ; mettre en évidence l'influence des caractéristiques du filtre.
• Identifier la présence d'une rétroaction sur la borne inverseuse comme indice de fonctionnement en régime linéaire.
• Établir la relation entrée–sortie des montages non inverseur, suiveur, inverseur, intégrateur.
• Déterminer les impédances d'entrée de ces montages.
• Mettre en œuvre un filtre actif.

10. Pièges et points clés

• Linéarité : superposition et filtrage composante par composante n'ont de sens que pour un système linéaire. Une non-linéarité crée de nouvelles fréquences.
• Valeur efficace : c'est une moyenne quadratique, pas une moyenne simple — ne pas oublier la racine.
• Sinusoïde : $S_{\mathrm{eff}}=S_{\mathrm{m}}/\sqrt{2}$, mais avec offset $S_{\mathrm{eff}}=\sqrt{s_0^{\,2}+S_{\mathrm{m}}^{\,2}/2}$ (somme des carrés, pas somme des amplitudes).
• Parseval : les harmoniques s'ajoutent en quadratique ($S_{\mathrm{eff}}^{\,2}=\sum S_{k,\mathrm{eff}}^{\,2}$), jamais en amplitude.
• Pulsation de coupure à $-3\ \mathrm{dB}$ correspond à $G=G_{\mathrm{max}}/\sqrt{2}$, pas à $G=0$.
• Échelles logarithmiques : une décade = facteur 10 ; pente en $\mathrm{dB/dec}$ se lit sur $\log\omega$, pas sur $\omega$.
• Forme canonique d'ordre 2 : repérer $\omega_0$ (position) et $Q$ (sélectivité/résonance) ; le signe et la place des termes fixent le type (passe-bas, passe-bande...).
• Cascades : un filtre passif chargé par un autre ne conserve pas sa $H$ — imposer adaptation d'impédance (suiveur, ALI).
• ALI en régime linéaire : nécessite une rétroaction sur l'entrée inverseuse ; sans elle, l'ALI sature (régime non linéaire, hors programme ici).
• Masse virtuelle de l'inverseur : $v_-=v_+=0$, mais ce n'est pas un vrai noeud de masse — ne pas y brancher la masse du circuit.
• Impédance d'entrée du suiveur/non inverseur infinie : idéal comme adaptateur d'impédance en tête de cascade.
• L'ALI est une découverte : pas de calculs sur les défauts (slew rate, tension d'offset, courants de polarisation) au programme de cette partie.