Fiche 1.6 — Propagation d'un signal

Thème : Ondes et signaux (1) — Semestre : 1 — Chapitre : 1.6

Objectifs

Relier l'observation de signaux qui se propagent à leur traduction mathématique (sans équation d'onde), décrire la propagation unidimensionnelle non dispersive, caractériser une onde progressive sinusoïdale (double périodicité, vitesse de phase, déphasage), définir un milieu dispersif, analyser la superposition de deux signaux sinusoïdaux (battements, interférences), relier différence de chemin optique et déphasage pour les interférences lumineuses, et mettre en évidence les modes propres d'une corde vibrante.

1. Signaux et signal sinusoïdal

• Signal : grandeur physique $s(t)$ (ou $s(x,t)$ lors d'une propagation) dépendant du temps et, éventuellement, de l'espace.
• Grandeurs physiques associées :
  • Acoustique : pression $p(x,t)$, surpression par rapport à la pression d'équilibre.
  • Électrique : tension $u(t)$, intensité $i(t)$.
  • Électromagnétique : champ électrique $\vec{E}(x,t)$, champ magnétique $\vec{B}(x,t)$.
• Signal sinusoïdal : $s(t)=S_m\cos(\omega t+\varphi)$, avec :
  • $S_m$ amplitude (même unité que $s$) ;
  • $\omega=2\pi f$ pulsation ($\mathrm{rad\,s^{-1}}$), $f$ fréquence ($\mathrm{Hz}$) ;
  • $T=1/f=2\pi/\omega$ période temporelle ($\mathrm{s}$) ;
  • $\varphi$ phase à l'origine.

2. Battements

• Superposition de deux sinusoïdes de même amplitude et de fréquences voisines $f_1$ et $f_2$ : $s(t)=S_m\cos(2\pi f_1 t)+S_m\cos(2\pi f_2 t)=2S_m\cos\!\left(\pi(f_2-f_1)t\right)\cos\!\left(\pi(f_1+f_2)t\right)$
• Fréquence moyenne du signal porteur : $\dfrac{f_1+f_2}{2}$.
• Fréquence des battements (enveloppe) : $f_{\mathrm{bat}}=\left|f_2-f_1\right|$.
• La modulation d'amplitude est perçue à la fréquence $|f_2-f_1|$ ; l'intensité varie à $2|f_2-f_1|$ (deux maxima par période de battement).
• Utilisation : déterminer un écart de fréquences à partir d'un enregistrement temporel ou d'une perception auditive (tierce, etc.).

3. Onde progressive unidimensionnelle non dispersive

Formes mathématiques

Dans un milieu illimité, transparent et non dispersif, une onde progressive se propageant selon l'axe $Ox$ s'écrit :

$s(x,t)=f\!\left(x-ct\right)\quad\text{ou}\quad s(x,t)=g\!\left(x+ct\right)$

soit, de manière équivalente :

$s(x,t)=f\!\left(t-\dfrac{x}{c}\right)\quad\text{ou}\quad s(x,t)=g\!\left(t+\dfrac{x}{c}\right)$

• Signe $-$ : propagation dans le sens des $x$ croissants.
• Signe $+$ : propagation dans le sens des $x$ décroissants.

Célérité et retard

• Célérité $c$ ($\mathrm{m\,s^{-1}}$) : vitesse de propagation du signal (de l'énergie).
• Retard temporel entre deux points distants de $\Delta x$ : $\tau=\dfrac{\Delta x}{c}$ Le signal en $x_0+\Delta x$ à l'instant $t$ est le même qu'en $x_0$ à l'instant $t-\tau$ : $s(x_0+\Delta x,t)=s(x_0,t-\tau)$.

Évolutions temporelle et spatiale

• À position fixée $x=x_0$ : $s(x_0,t)$ reproduit le signal temporel de la source avec un retard $\tau=x_0/c$.
• À instant fixé $t=t_0$ : $s(x,t_0)$ donne le profil spatial de l'onde ; ce profil se translate à la vitesse $c$ sans déformation (milieu non dispersif).

4. Onde progressive sinusoïdale

Expression

$s(x,t)=S_m\cos\!\left(\omega t-kx+\varphi\right)$

• $k=2\pi/\lambda$ : nombre d'onde ($\mathrm{rad\,m^{-1}}$).
• $\varphi$ : phase à l'origine ($x=0$, $t=0$).

Double périodicité

• Période temporelle : $T=\dfrac{2\pi}{\omega}=\dfrac{1}{f}$.
• Longueur d'onde (période spatiale) : $\lambda=\dfrac{2\pi}{k}=cT=\dfrac{c}{f}$.

Vitesse de phase

$v_\varphi=\dfrac{\omega}{k}=\lambda f=c$

Dans un milieu non dispersif, $v_\varphi=c$ et ne dépend pas de $f$.

Déphasage dû à la propagation

Pour deux points distants de $\Delta x=x_2-x_1$ :

$\Delta\varphi=k\,\Delta x=\dfrac{2\pi\,\Delta x}{\lambda}=\omega\,\tau$

lié au retard $\tau=\Delta x/c$.

Ordres de grandeur de fréquences

5. Milieu dispersif

• Milieu dispersif : la célérité $c$ (ou la vitesse de phase $v_\varphi$) dépend de la fréquence $f$ (ou de $\lambda$). Une onde non sinusoïdale se déforme alors lors de la propagation.
• Milieu non dispersif : $c$ indépendante de $f$ ; tout signal conserve sa forme.
• Exemples :
  • Non dispersif : lumière dans le vide ; son dans l'air (en première approximation).
  • Dispersif : lumière dans le verre (indice $n(\lambda)$, à l'origine du spectre du prisme) ; surface de l'eau pour les ondes de gravité ; guide d'ondes.

6. Interférences entre deux ondes (acoustique/mécanique)

Superposition de deux ondes sinusoïdales de même fréquence

En un point $M$, deux ondes : $s_1=S_1\cos(\omega t+\varphi_1)$ et $s_2=S_2\cos(\omega t+\varphi_2)$. Le signal résultant est sinusoïdal de même pulsation $\omega$, d'amplitude :

$S_{\mathrm{res}}=\sqrt{S_1^{\,2}+S_2^{\,2}+2S_1S_2\cos\Delta\varphi}\quad\text{avec}\quad \Delta\varphi=\varphi_2-\varphi_1$

Intensité résultante

Pour l'intensité (proportionnelle au carré de l'amplitude) :

$I=I_1+I_2+2\sqrt{I_1 I_2}\cos\Delta\varphi$

Conditions d'interférences

• Constructives : $\Delta\varphi=2m\pi$ ($m\in\mathbb{Z}$) ; amplitudes en phase, $I=I_{\max}=(\sqrt{I_1}+\sqrt{I_2})^2$.
• Destructives : $\Delta\varphi=(2m+1)\pi$ ; amplitudes en opposition, $I=I_{\min}=(\sqrt{I_1}-\sqrt{I_2})^2$ (nulle si $I_1=I_2$).

Aspect expérimental

• Réaliser deux sources cohérentes (haut-parleurs alimentés par le même GBF, deux voies issues d'une même source, etc.).
• Visualiser le signal résultant et mesurer l'amplitude en fonction de la position ; vérifier les conditions constructives/destructives.

7. Interférences lumineuses : trous d'Young

Dispositif

• Deux trous sources $S_1$ et $S_2$ distants de $a$, éclairés par une source monochromatique de longueur d'onde $\lambda$, situés à la distance $D$ d'un écran ($D\gg a$ et $D\gg x$).
• Les deux ondes issues de $S_1$ et $S_2$ sont cohérentes (issues d'une même source primaire).

Différence de chemin optique

$\delta=d_2-d_1\approx\dfrac{a}{D}\,x$

où $x$ est la position du point $M$ sur l'écran par rapport au centre, $d_i=S_iM$.

Déphasage

$\Delta\varphi=\dfrac{2\pi\,\delta}{\lambda}$

Formule de Fresnel

Pour deux ondes de même intensité $I_0$ :

$I(M)=4I_0\cos^2\!\left(\dfrac{\pi\,\delta}{\lambda}\right)=4I_0\cos^2\!\left(\dfrac{\pi a x}{\lambda D}\right)$

• Franges brillantes : $\delta=m\lambda$ ($\Delta\varphi=2m\pi$).
• Franges sombres : $\delta=\left(m+\dfrac{1}{2}\right)\lambda$ ($\Delta\varphi=(2m+1)\pi$).

Interfrange

$i=\dfrac{\lambda D}{a}$

Aspect expérimental

• Réaliser le montage avec un laser ou une source spectrale + fente source ; acquisitions numériques de l'image.
• Mesurer l'interfrange pour déterminer $\lambda$ ou $a$.

8. Ondes stationnaires mécaniques

Définition et caractérisation

• Une onde stationnaire résulte de la superposition de deux ondes progressives de même fréquence, de même amplitude, se propageant en sens opposés (onde incidente + onde réfléchie).
• Nœuds : points d'amplitude maximale nulle (vibration toujours nulle), espacés de $\lambda/2$.
• Ventres : points d'amplitude maximale, situés entre les nœuds, espacés de $\lambda/2$ ; un ventre et un nœud sont distants de $\lambda/4$.

Modes propres d'une corde fixée aux extrémités

Pour une corde de longueur $L$ fixée à ses deux extrémités, conditions aux limites : $s(0,t)=s(L,t)=0$. Les modes propres ont pour longueurs d'onde :

$\lambda_n=\dfrac{2L}{n}\qquad(n=1,2,\dots)$

et pour fréquences :

$f_n=\dfrac{c}{\lambda_n}=\dfrac{n\,c}{2L}$

• $n=1$ : mode fondamental ; $n>1$ : harmoniques.
• Le choix des conditions aux limites impose l'ensemble discret des modes propres.

Décomposition d'une vibration quelconque

Toute vibration d'une corde fixée à ses deux extrémités se décompose sur la base des modes propres (théorème de Fourier). Le timbre d'un instrument dépend de la répartition de l'énergie entre les modes : lien avec la musique (hauteur $\leftrightarrow$ $f_1$, timbre $\leftrightarrow$ harmoniques).

Corde de Melde et stroboscopie

• Corde de Melde : corde tendue soumise à une excitation sinusoïdale (vibreur) ; on observe une onde stationnaire lorsque la fréquence d'excitation correspond à un mode propre.
• Stroboscopie : en éclairant la corde avec un flash de fréquence proche de celle de l'excitation, on ralentit visuellement le mouvement et on observe distinctement les nœuds et ventres. À l'immobilité apparente, la fréquence du stroboscope est un multiple entier de la fréquence de vibration.

Aspect expérimental

• Mettre en place une corde vibrante et un dispositif d'acquisition (micro, capteur, logiciel) pour relever le spectre du signal acoustique produit ; identifier les fréquences $f_n$ et vérifier la relation $f_n=n\,c/(2L)$.

Savoir-faire exigibles

• Identifier les grandeurs physiques correspondant à des signaux acoustiques, électriques, électromagnétiques.
• Déterminer une différence de fréquences à partir d'enregistrements de battements ou d'une perception auditive.
• Écrire les signaux progressifs sous la forme $f(x-ct)$, $g(x+ct)$, ou $f(t-x/c)$, $g(t+x/c)$.
• Prévoir, pour une onde progressive, l'évolution temporelle à position fixée et l'évolution spatiale à différents instants.
• Citer des ordres de grandeur de fréquences en acoustique, mécanique et électromagnétique.
• Établir la relation entre fréquence, longueur d'onde et vitesse de phase ($\lambda=v_\varphi/f$).
• Relier le déphasage entre deux points au retard dû à la propagation ($\Delta\varphi=\omega\tau=k\Delta x$).
• Mesurer expérimentalement la vitesse de phase, la longueur d'onde et le déphasage dû à la propagation.
• Définir un milieu dispersif et citer des exemples dispersive/non dispersive.
• Exprimer les conditions d'interférences constructives et destructives.
• Déterminer l'amplitude de l'onde résultante en un point en fonction du déphasage.
• Mettre en œuvre un dispositif expérimental pour visualiser et caractériser les interférences de deux ondes.
• Relier le déphasage à la différence de chemin optique ($\Delta\varphi=2\pi\delta/\lambda$).
• Établir l'expression littérale de la différence de chemin optique pour les trous d'Young ($\delta=ax/D$).
• Exploiter la formule de Fresnel pour décrire la répartition d'intensité lumineuse.
• Mettre en œuvre le dispositif des trous d'Young avec acquisition numérique d'image.
• Caractériser une onde stationnaire par l'existence de nœuds et ventres.
• Exprimer les fréquences des modes propres d'une corde de longueur $L$ : $f_n=n\,c/(2L)$.
• Décomposer une vibration quelconque d'une corde fixée en modes propres ; relier aux notions musicales.
• Décrire une onde stationnaire observée par stroboscopie sur la corde de Melde.
• Mettre en œuvre un dispositif pour analyser le spectre du signal acoustique produit par une corde vibrante.

Pièges et points clés

• Pas d'équation d'onde : on manipule directement les formes $f(x-ct)$ ou $f(t-x/c)$, sans dériver l'équation de propagation (hors programme).
• Signe de l'argument : $x-ct$ $\Rightarrow$ propagation vers les $x$ croissants ; $x+ct$ $\Rightarrow$ sens inverse. Ne pas confondre.
• Célérité vs vitesse de phase : dans un milieu non dispersif, $c=v_\varphi=\lambda f$ ; en milieu dispersif, $v_\varphi$ dépend de $f$.
• Fréquence des battements : $|f_2-f_1|$, pas $2|f_2-f_1|$ (cette dernière est la fréquence de modulation de l'intensité).
• Différence de marche vs différence de chemin optique : en optique, $\delta=n(d_2-d_1)$ ; dans l'air ($n\approx 1$), $\delta\approx d_2-d_1$.
• Interfrange $i=\lambda D/a$ : ne pas confondre avec la position des franges brillantes $x_m=m\lambda D/a$.
• Cohérence : les interférences lumineuses nécessitent une source unique éclairant les deux trous (sinon, pas de figure stable).
• Conditions aux limites d'une corde fixée : elles sélectionnent les modes $n\,c/(2L)$, pas $n\,c/L$.
• Stroboscopie : l'immobilité apparente s'observe aussi pour des multiples entiers de la fréquence réelle — il faut vérifier en augmentant la fréquence du flash pour identifier le mode fondamental.
• Nœuds et ventres sont espacés de $\lambda/2$ ; un nœud et un ventre adjacent sont distants de $\lambda/4$.