Fiche 1.7 — Induction et forces de Laplace

Thème : Ondes et signaux (2) — Semestre : 2 — Chapitre : 1.7

Objectifs

Relier le champ magnétique à ses sources, analyser ses symétries, exploiter ses cartes et maîtriser des ordres de grandeur. Étudier les actions d'un champ magnétique sur un courant (force de Laplace, couple) et sur un aimant. Introduire les lois de l'induction (Faraday, Lenz) et les appliquer à deux situations simplifiées : circuit fixe dans un champ dépendant du temps (auto-induction, mutuelle, transformateur) et circuit mobile dans un champ stationnaire (rails de Laplace, alternateur, freinage, moteur). Mettre l'accent sur les phénomènes et la modélisation sommaire de leurs applications, en s'appuyant sur une démarche expérimentale authentique.

Limites du programme (à respecter strictement) : géométries simples uniquement (champ uniforme et stationnaire ; rails de Laplace ; cadre rectangulaire en rotation). Pas d'étude générale de l'induction, pas de champ électromoteur. Induction et forces de Laplace dans un circuit mobile limitées au champ uniforme et stationnaire.

1. Champ magnétique (1.7.1)

Sources et cartes de champ

• Sources : aimants, courants (spires, bobines), champ terrestre. Le champ magnétique $\vec B$ est un champ vectoriel.
• Cartes de champ : représentation par lignes de champ tangentes à $\vec B$, orientées du pôle nord vers le pôle sud à l'extérieur d'un aimant.
• Allure à connaître :
  • Aimant droit : lignes sortant du pôle nord, rentrant au pôle sud ; champ intense au voisinage des pôles, faible loin des sources.
  • Spire circulaire : lignes traversant la spire perpendiculairement à son plan, refermées à l'extérieur ; sens donné par la règle de la main droite.
  • Bobine longue (solénoïde) : champ quasi uniforme à l'intérieur, lignes parallèles à l'axe ; champ faible à l'extérieur.
• Zones : identifier sur une carte les zones de champ uniforme (lignes parallèles et équidistantes), de champ faible (lignes écartées) et l'emplacement des sources (lignes qui convergent).

Dispositifs produisant un champ quasi uniforme

• Bobines de Helmholtz : deux bobines identiques coaxiales, séparées par une distance égale à leur rayon $R$ ; champ quasi uniforme au voisinage du centre.
• Bobine longue (solénoïde) : champ uniforme à l'intérieur pour une longueur grande devant le rayon.

Ordres de grandeur

Symétries et invariances des distributions de courant

• Plan de symétrie $\Pi$ de la distribution de courant : $\vec B$ est orthogonal à $\Pi$ ($\vec B\perp\Pi$).
• Plan d'antisymétrie $\Pi'$ de la distribution : $\vec B$ appartient à $\Pi'$ ($\vec B\in\Pi'$).
• Invariances par translation ou rotation : permettent de réduire les composantes non nulles de $\vec B$ et sa dépendance spatiale.

Lien champ $\leftrightarrow$ intensité

• Ordre de grandeur du champ créé par un courant évalué à partir d'expressions fournies, par exemple :
  • Spire circulaire de rayon $R$, sur l'axe à la distance $z$ du centre : $B(z)=\frac{\mu_0 I R^2}{2(R^2+z^2)^{3/2}}$
  • Solénoïde long de densité de spires $n$ : $B_{\mathrm{int}}\simeq\mu_0 n I\quad(\text{champ uniforme à l'intérieur})$
• $\mu_0=4\pi\times10^{-7}\ \mathrm{H\,m^{-1}}$.

Moment magnétique

• Boucle de courant plane parcourue par $I$, de surface $S$ orientée par la règle de la main droite (normale $\vec n$) : $\vec m=I\,\vec S=I S\,\vec n$
• Analogie aimant $\leftrightarrow$ boucle de courant : un aimant est modélisé par un moment magnétique $\vec m$ aligné du pôle sud vers le pôle nord.
• Ordre de grandeur du moment d'un aimant usuel : $\sim 1\ \mathrm{A\,m^2}$.

2. Actions d'un champ magnétique (1.7.2)

Force de Laplace

• Densité linéique de force sur un élément de courant filiforme : $\mathrm d\vec F_L=I\,\mathrm d\vec\ell\times\vec B_{\mathrm{ext}}$
• Distinction fondamentale : $\vec B_{\mathrm{ext}}$ est le champ extérieur subi (créé par les autres sources), distinct du champ propre créé par le courant lui-même (qui n'agit pas sur le porteur).
• Résultante sur une barre conductrice de longueur $\ell$ en translation dans un champ $\vec B_{\mathrm{ext}}$ uniforme et stationnaire : $\vec F_L=I\,\vec\ell\times\vec B_{\mathrm{ext}}$ où $\vec\ell$ est orienté dans le sens de $I$.
• Puissance des forces de Laplace (barre en translation à la vitesse $\vec v$) : $P_L=\vec F_L\cdot\vec v$

Couple sur une spire rectangulaire en rotation

• Cadre rectangulaire parcouru par $I$, en rotation autour d'un axe de symétrie passant par les milieux de deux côtés opposés, dans un champ $\vec B_{\mathrm{ext}}$ uniforme, stationnaire, orthogonal à l'axe.
• Moment magnétique du cadre : $\vec m=I S\,\vec n$ (cf. 1.7.1).
• Couple des actions de Laplace : $\vec\Gamma=\vec m\times\vec B_{\mathrm{ext}}$
• Puissance (rotation à la vitesse angulaire $\vec\Omega$) : $\mathcal P=\vec\Gamma\cdot\vec\Omega$

Action sur un aimant ; équilibres

• Aimant de moment $\vec m$ dans un champ $\vec B_{\mathrm{ext}}$ uniforme : soumis au même couple $\vec\Gamma=\vec m\times\vec B_{\mathrm{ext}}$.
• Positions d'équilibre :
  • $\vec m\parallel\vec B_{\mathrm{ext}}$ : équilibre stable (couple nul, énergie minimale).
  • $\vec m$ antiparallèle à $\vec B_{\mathrm{ext}}$ : équilibre instable.
• Dispositif expérimental : boussole dans le champ d'une bobine ; observation de l'alignement selon $\vec B_{\mathrm{ext}}$.

Effet moteur d'un champ tournant

• Champ tournant créé par deux ou trois bobines alimentées par des courants déphasés ; résultante $\vec B_{\mathrm{ext}}$ de direction pivotant dans le plan.
• Une aiguille aimantée (moment $\vec m$) suit le champ par effet de couple : mise en rotation.
• Principe du moteur synchrone.

3. Lois de l'induction (1.7.3)

Flux du champ magnétique

• Flux à travers une surface $S$ s'appuyant sur un contour fermé orienté : $\Phi=\iint_S \vec B\cdot\mathrm d\vec S$
• Orientation : la surface est orientée par le contour via la règle de la main droite (sens de parcours du contour $\Rightarrow$ sens de $\vec n$).
• Cas d'un champ uniforme à travers une surface plane : $\Phi=B\,S\cos\alpha$ où $\alpha=(\vec B,\vec n)$.

Loi de Faraday

• Force électromotrice (fem) induite dans un circuit : $e=-\frac{\mathrm d\Phi}{\mathrm d t}$
• $\Phi$ : flux de $\vec B_{\mathrm{ext}}$ à travers le contour orienté.
• Conventions d'algébrisation : orienter le contour (sens de $i$ positif) $\Rightarrow$ orienter la normale $\vec n$ par règle de la main droite ; $e$ est comptée dans le sens d'orientation du circuit.

Loi de Lenz (modération)

• Loi de modération : le courant induit (et ses effets) s'oppose à la cause qui lui donne naissance (variation de flux).
• Permet de prédire le sens du courant induit sans calcul.
• Expériences : aimant approché/éloigné d'une bobine, déplacement relatif bobine–aimant ; courants induits observés via la déflexion d'un galvanomètre.

Démarche historique et expérimentale

• Loi de Faraday (1831) : bel exemple d'illustration de l'histoire des sciences.
• Plusieurs points de vue possibles sur le même phénomène selon le référentiel (circuit mobile ou circuit fixe) — ces points de vue ne sont pas à formaliser (pas de champ électromoteur).

4. Circuit fixe dans un champ dépendant du temps (1.7.4)

Auto-induction

• Flux propre : flux de $\vec B$ créé par le courant $i$ traversant lui-même la bobine : $\Phi_{\mathrm{prop}}=L\,i$
• Inductance propre $L\ge 0$ (en henry, $\mathrm H$) : coefficient de proportionnalité entre flux propre et intensité.
• Loi de modération de Lenz : la f.c.e.m. d'auto-induction s'oppose à la variation de $i$.
• Expression pour une bobine longue (solénoïde de $n$ spires par mètre, section $S$, longueur $\ell$) : $L\simeq\mu_0 n^2 S\,\ell$
• Ordre de grandeur : $L\sim 1$ à $10\ \mathrm{mH}$ pour une bobine usuelle.
• Mesure : par observation de la réponse à un échelon (régime transitoire $RL$) ou en régime sinusoïdal forcé (impédance $L\omega$).

Bilan énergétique d'auto-induction

• Énergie magnétique stockée dans la bobine : $E_{\mathrm{mag}}=\frac12 L\,i^2$
• Puissance magnétique : $P_{\mathrm{mag}}=\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\!\left(\frac12 L\,i^2\right)=L\,i\,\frac{\mathrm d i}{\mathrm d t}$
• Schéma électrique équivalent : la bobine introduit une f.c.e.m. d'auto-induction : $e=-L\,\frac{\mathrm d i}{\mathrm d t}$ à intégrer dans le bilan de tension de la maille (la tension aux bornes vaut $u=L\,\mathrm d i/\mathrm d t$ en convention récepteur).

Mutuelle inductance entre deux bobines

• Deux bobines coaxiales de même axe, en influence totale (l'enroulement de l'une enlace entièrement le flux de l'autre).
• Flux envoyé par la bobine 1 à travers la bobine 2 : $\Phi_{2\leftarrow 1}=M\,i_1$
• $M$ : mutuelle inductance (en $\mathrm H$), symétrique ($M_{12}=M_{21}=M$).
• Mesure : par régime sinusoïdal forcé ; étude de l'influence de la géométrie (distance, alignement).
• Applications : carte RFID, charge par induction, transformateur.

Circuits couplés en régime sinusoïdal forcé

• Deux mailles couplées par mutuelle $M$ : en régime sinusoïdal forcé (amplitudes complexes $\underline u_1,\underline u_2,\underline i_1,\underline i_2$) :