Fiche 1.8 — Introduction à la physique quantique

Thème : Ondes et signaux (2) — Semestre : 2 — Chapitre : 1.8

Objectifs

Questionner la représentation classique du monde à partir d'expériences du début du XXᵉ siècle : dualité onde-particule pour la lumière et la matière, interprétation probabiliste de la fonction d'onde, inégalité de Heisenberg spatiale, quantification de l'énergie dans l'atome et dans un puits de potentiel. La réflexion est essentiellement qualitative : aucune dérive calculatoire n'est attendue.

1. Dualité onde-particule pour la lumière

Le photon

• La lumière, décrite classiquement par une onde électromagnétique, présente également un comportement corpusculaire : l'énergie échangée est quantifiée par paquets, les photons.
• Énergie d'un photon : $E=h\nu=\hbar\omega$
• Impulsion : $\vec p=\hbar\vec k\qquad |\vec p|=\frac{h}{\lambda}$
• Constantes :
  • $h\simeq 6{,}63\times10^{-34}\ \mathrm{J\cdot s}$ (constante de Planck) ;
  • $\hbar=h/(2\pi)$ (constante réduite).

Expériences justifiant l'existence du photon

• Effet photoélectrique (Einstein, 1905) : l'éjection d'électrons par un métal éclairé dépend du seuil en fréquence $\nu_0$, pas de l'intensité. Interprétation : absorption d'un photon d'énergie $h\nu\geq W_{\mathrm{extr}}$ (fonction d'extraction).
• Rayonnement du corps noir (Planck, 1900) : la distribution spectrale d'énergie est correctement reproduite en quantifiant l'énergie des résonateurs par $E=nh\nu$ ; résout la « catastrophe ultraviolette ».
• Effet Compton (1923) : diffusion des rayons X par des électrons libres avec changement de longueur d'onde dépendant de l'angle — s'explique par la collision élastique photon–électron (conservation de l'énergie et de l'impulsion).

2. Onde de matière (de Broglie, 1924)

• À toute particule matérielle d'impulsion $p$ est associée une onde de longueur d'onde : $\lambda=\frac{h}{p}=\frac{h}{mv}$
• Dualité onde-particule : la matière aussi possède un caractère ondulatoire.

Expériences mettant en évidence ce caractère

• Diffraction électronique (Davisson–Germer, 1927) : un faisceau d'électrons monocinétiques réfléchi sur un cristal de nickel donne des pics d'intensité aux angles prévus par la condition de Bragg avec $\lambda=h/p$.
• Fentes d'Young avec des électrons : on observe une figure d'interférence caractéristique d'une onde de longueur d'onde $\lambda=h/p$.

Ordres de grandeur

• Électron accéléré sous $100\ \mathrm{eV}$ : $p=\sqrt{2m_e e U}$, soit $\lambda\sim 1{,}2\times10^{-10}\ \mathrm m$ — comparable à la distance interatomique : diffraction possible par un cristal.
• Objet macroscopique (masse $\sim 1\ \mathrm{g}$, vitesse $\sim 1\ \mathrm{m\cdot s^{-1}}$) : $\lambda\sim 10^{-31}\ \mathrm m$ — totalement inobservable, justifiant le comportement classique à l'échelle humaine.

3. Fonction d'onde et interprétation probabiliste

Introduction qualitative

• L'état d'une particule est décrit par une fonction d'onde $\psi(\vec r,t)$, objet complexe n'ayant pas de signification physique directe.
• Densité de probabilité de présence : $\mathrm{d}\mathcal P = |\psi(\vec r,t)|^2\,\mathrm d^3\vec r$
• $|\psi|^2$ est une densité de probabilité normalisée : $\int_{\mathbb R^3}|\psi|^2\,\mathrm d^3\vec r = 1$

Interférences particule par particule

• Expérience de Young menée à faible flux (électrons, photons, atomes, un par un) :
  • Chaque impact sur le détecteur est localisé — comportement corpusculaire ;
  • La figure d'interférence se construit impact par impact après accumulation ;
  • Un impact individuel est imprévisible, mais la distribution statistique des impacts est régie par $|\psi|^2$.
• Interprétation : les franges représentent une probabilité de présence, et non une répartition d'intensité d'une onde classique. La particule « interfère avec elle-même ».

4. Inégalité de Heisenberg spatiale

Établissement par analogie avec la diffraction

• Une particule passant par une fente de largeur $a$ est localisée transversalement à : $\Delta x \sim a$
• La diffraction élargit l'onde d'un demi-angle $\theta\sim\lambda/a$, d'où une incertitude transverse sur l'impulsion : $\Delta p_x \sim p\,\theta \sim \frac{h}{\lambda}\cdot\frac{\lambda}{a} = \frac{h}{a}$
• On en déduit, en ordre de grandeur : $\boxed{\Delta p\,\Delta x \gtrsim \hbar}$

Signification physique

• On ne peut pas connaître simultanément avec une précision arbitraire la position et l'impulsion d'une particule.
• Il ne s'agit pas d'une limite instrumentale mais d'une propriété intrinsèque liée au caractère ondulatoire.
• La limite classique ($\hbar\to0$) restitue une trajectoire bien définie.

5. Quantification de l'énergie — Modèle de Bohr

Postulats du modèle planétaire

• L'électron orbite autour du proton sur des cercles de rayon $r_n$.
• Postulat de quantification du moment cinétique orbital : $L = n\hbar,\qquad n\in\mathbb N^*$
• L'électron ne rayonne pas sur ces orbites « stationnaires ».

Niveaux d'énergie de l'hydrogène

• La combinaison de la quantification de $L$ avec la stabilité mécanique ($F_{\mathrm{Coulomb}}=m_e v^2/r$) conduit à des rayons et énergies quantifiés.
• Rayon de Bohr (plus petite orbite) : $a_0=\frac{\hbar^2}{m_e e^2/(4\pi\varepsilon_0)}\simeq 5{,}3\times10^{-11}\ \mathrm m$
• Niveaux d'énergie : $\boxed{E_n=-\frac{13{,}6}{n^2}\ \mathrm{eV}},\qquad n\in\mathbb N^*$
• L'état fondamental ($n=1$) a pour énergie $-13{,}6\ \mathrm{eV}$ ; les états excités ($n\geq2$) forment un spectre qui se rapproche asymptotiquement de $0$ (seuil d'ionisation).

Transitions et spectres de raies

• Transition entre niveaux $n_i\to n_f$ : émission ou absorption d'un photon d'énergie : $h\nu = E_{n_i}-E_{n_f}$
• Spectre de raies de l'hydrogène :
  • Série de Lyman ($n_f=1$, UV) ;
  • Série de Balmer ($n_f=2$, visible) ;
  • Série de Paschen ($n_f=3$, IR).
• Discreté des niveaux $\to$ spectre de raies (et non continu) : signature expérimentale de la quantification.

Limites du modèle

• Ne s'applique qu'aux atomes hydrogénoïdes à un électron.
• Ignore le caractère ondulatoire de l'électron (pas de fonction d'onde).
• Ne prévoit ni la structure fine, ni les nombres quantiques $l$, $m_l$, $m_s$, ni le spin.
• Remplacé par le modèle quantique moderne (équation de Schrödinger).

6. Puits de potentiel 1D infini

Modèle

• Particule confinée sur un segment $[0,L]$ par un potentiel $V(x)=0$ à l'intérieur et $V=+\infty$ à l'extérieur : la particule ne peut pas sortir.
• Conditions aux limites : $\psi(0)=0,\qquad \psi(L)=0$

Énergie minimale de confinement (point zéro)

• La localisation de la particule sur $L$ impose $\Delta x\sim L$.
• Par l'inégalité de Heisenberg : $\Delta p \gtrsim \hbar/L$, soit une énergie cinétique minimale : $E_{\min}\sim \frac{(\Delta p)^2}{2m}\sim \frac{\hbar^2}{2mL^2}$
• Une particule quantique ne peut pas être au repos dans un puits : l'énergie de l'état fondamental est non nulle. C'est l'énergie de point zéro.

Niveaux d'énergie par analogie avec une corde vibrante

• Les conditions $\psi=0$ aux extrémités imposent des modes propres analogues à ceux d'une corde fixée à ses deux bouts : $\lambda_n = \frac{2L}{n}\ \Rightarrow\ k_n=\frac{n\pi}{L},\qquad n\in\mathbb N^*$
• L'énergie cinétique associée $E_n=\hbar^2 k_n^{\,2}/(2m)$ donne : $\boxed{E_n=n^2\,\frac{h^2}{8mL^2}}$
• Spectre quadratique en $n$ (contrairement à l'atome d'hydrogène).

Lien qualitatif confinement ↔ quantification

• Plus le puits est étroit ($L$ petit), plus les niveaux sont écartés et l'énergie de point zéro élevée.
• Plus le puits est large ($L\to\infty$), plus les niveaux se resserrent $\to$ spectre continu (limite classique).
• Quantification de l'énergie ↔ confinement spatial : un degré de liberté enfermé dans une région finie présente des niveaux discrets ; libre, il présente un spectre continu.

7. Savoir-faire exigibles

• Décrire un exemple d'expérience mettant en évidence la nécessité du photon (photoélectrique, corps noir, Compton).
• Citer et exploiter les relations du photon : $E=h\nu=\hbar\omega$, $\vec p=\hbar\vec k$.
• Décrire une expérience montrant le comportement ondulatoire de la matière (Davisson–Germer, Young avec électrons).
• Évaluer des ordres de grandeur typiques des phénomènes quantiques (électron à $100\ \mathrm{eV}$, objet macroscopique).
• Interpréter une expérience d'interférences particule par particule en termes probabilistes ($|\psi|^2$).
• Établir par analogie avec la diffraction l'inégalité $\Delta p\,\Delta x\gtrsim\hbar$.
• Exploiter la quantification du moment cinétique $L=n\hbar$ pour obtenir les niveaux $E_n=-13{,}6/n^2\ \mathrm{eV}$ de l'hydrogène.
• Relier transitions et spectres de raies ; identifier les limites du modèle de Bohr.
• Exploiter Heisenberg pour mettre en évidence une énergie minimale de confinement (point zéro).
• Obtenir les niveaux d'un puits infini 1D par analogie avec les modes d'une corde : $E_n=n^2 h^2/(8mL^2)$.
• Établir le lien qualitatif confinement spatial ↔ quantification de l'énergie.

8. Pièges et points clés

• La réflexion doit rester qualitative : aucune dérive calculatoire n'est attendue sur ces notions.
• Ne pas confondre $h$ et $\hbar$ : $\hbar=h/(2\pi)$ ; l'inégalité de Heisenberg s'écrit avec $\hbar$.
• L'onde de matière n'est pas une onde matérielle : la particule ne « s'étale » pas, c'est sa probabilité de présence qui est ondulatoire.
• Une particule envoyée « une par une » dans un dispositif d'Young produit une figure d'interférence après accumulation : elle n'est pas « séparée » en deux.
• L'inégalité de Heisenberg est une limitation intrinsèque, pas un défaut de mesure.
• Les niveaux de l'hydrogène sont en $1/n^2$ (négatifs, tendant vers $0$) ; ceux d'un puits infini sont en $n^2$ (positifs, croissant vers $+\infty$) — ne pas les inverser.
• L'énergie de point zéro n'existe que pour un système confiné ; une particule libre peut avoir une énergie nulle.
• Le modèle de Bohr est obsolète mais permet d'obtenir le bon résultat pour les niveaux de l'hydrogène : c'est un modèle intermédiaire, à utiliser en connaissant ses limites.
• La quantification des niveaux est une conséquence du confinement, pas un postulat ad hoc partout.