Fiche 2.1 — Description et paramétrage du mouvement d'un point

Thème : Mouvements et interactions (1) — Semestre : 1 — Chapitre : 2.1

Objectifs

Mettre en place les principaux systèmes de coordonnées (cartésiennes, polaires, cylindriques, sphériques) pour décrire une grande variété de mouvements d'un point. Familiariser avec projections, dérivations vectorielles et algébrisation des grandeurs physiques. Analyser qualitativement et quantitativement les comportements cinématiques de systèmes réels assimilés à un point, sur l'exemple des mouvements rectilignes et circulaires.

1. Repérage dans l'espace et dans le temps

Espace et temps classiques

• Espace : espace affine euclidien à trois dimensions, muni d'un repère orthonormé direct $(O;\vec e_x,\vec e_y,\vec e_z)$. Les distances y sont absolues (indépendantes de l'observateur).
• Temps : paramètre universel $t$ croissant. Les intervalles de temps sont absolus (deux observateurs mesurent la même durée entre deux événements).
• Hypothèse : validité restreinte aux vitesses $v\ll c$ (limite classique). Pour $v$ proche de $c$, la description classique est prise en défaut (ex. : désintégration de muons cosmiques, satellites GPS).

Référentiel et caractère relatif du mouvement

• Référentiel $\mathcal R$ : solide de référence (ou système d'axes lié à un observateur) muni d'une horloge. Le mouvement d'un point n'a de sens qu'après avoir précisé le référentiel.
• Caractère relatif du mouvement : la trajectoire, la vitesse et l'accélération d'un même point dépendent du référentiel choisi. Un point fixe dans un référentiel peut être en mouvement dans un autre (passager assis dans un train).
• Caractère absolu des distances et durées (postulat classique) : une longueur mesurée à un instant donné et une durée entre deux événements sont les mêmes dans tout référentiel.

Limite de validité

La description classique cesse d'être valide dès que $v$ devient comparable à $c\approx 3{,}00\times10^8\ \mathrm{m\cdot s^{-1}}$ (relativité restreinte).

2. Vecteurs position, vitesse et accélération

Soit un point matériel $M$ en mouvement dans un référentiel $\mathcal R$ muni d'un repère $(O;\vec e_x,\vec e_y,\vec e_z)$.

• Vecteur position : $\vec{OM}(t)$
• Vecteur vitesse (dérivée du vecteur position par rapport au temps) : $\vec v=\frac{\mathrm d\vec{OM}}{\mathrm dt}=\dot{\vec{OM}}$
• Vecteur accélération (dérivée de la vitesse) : $\vec a=\frac{\mathrm d\vec v}{\mathrm dt}=\frac{\mathrm d^2\vec{OM}}{\mathrm dt^2}=\ddot{\vec{OM}}$

La trajectoire est la courbe lieu des positions successives de $M$ ; le mouvement est décrit par l'équation horaire $\vec{OM}(t)$ (et l'équation de la trajectoire par élimination de $t$).

3. Coordonnées cartésiennes

Repérage

$\vec{OM}=x(t)\,\vec e_x+y(t)\,\vec e_y+z(t)\,\vec e_z$

Le trièdre local $(\vec e_x,\vec e_y,\vec e_z)$ est fixe : les vecteurs de base ne dépendent ni du temps ni de la position.

Déplacement élémentaire (dérivation géométrique)

Un petit déplacement de $M$ s'écrit, par projection sur les axes : $\mathrm d\vec{OM}=\mathrm dx\,\vec e_x+\mathrm dy\,\vec e_y+\mathrm dz\,\vec e_z$

Vitesse et accélération

Les vecteurs de base étant constants, la dérivation composante par composante donne directement : $\vec v=\dot x\,\vec e_x+\dot y\,\vec e_y+\dot z\,\vec e_z$ $\vec a=\ddot x\,\vec e_x+\ddot y\,\vec e_y+\ddot z\,\vec e_z$

Degrés de liberté et choix du système

• Degrés de liberté : nombre de paramètres indépendants nécessaires pour repérer $M$. En général 3 dans l'espace ; réduit par les contraintes (mouvement plan : 2 ; mouvement sur une droite : 1).
• Choix adapté : cartésiennes bien adaptées aux mouvements rectilignes ou aux translations ; moins performantes quand une symétrie de rotation est présente.

4. Coordonnées cylindriques $(r,\theta,z)$

Repérage

On introduit le plan polaire $(H,\vec e_r,\vec e_\theta)$ où $H$ est la projection de $M$ sur l'axe $(Oz)$, et : $\vec{OM}=r\,\vec e_r+z\,\vec e_z$ avec $r\geq 0$, $\theta$ angle orienté entre $\vec e_x$ et $\vec e_r$.

Relations avec la base cartésienne (la base cylindrique dépend de $\theta$) : $\vec e_r=\cos\theta\,\vec e_x+\sin\theta\,\vec e_y,\qquad \vec e_\theta=-\sin\theta\,\vec e_x+\cos\theta\,\vec e_y$

D'où, en dérivant par rapport à $\theta$ : $\frac{\mathrm d\vec e_r}{\mathrm d\theta}=\vec e_\theta,\qquad \frac{\mathrm d\vec e_\theta}{\mathrm d\theta}=-\vec e_r$

Trièdre local

$(\vec e_r,\vec e_\theta,\vec e_z)$ est un trièdre orthonormé direct dépendant de la position (via $\theta$) ; $\vec e_z$ reste fixe. C'est le trièdre local associé aux coordonnées cylindriques.

Déplacement élémentaire (dérivation géométrique)

• En faisant varier $r$ seul : $\mathrm d\vec{OM}=\mathrm dr\,\vec e_r$.
• En faisant varier $\theta$ seul (arc de cercle de rayon $r$) : $\mathrm d\vec{OM}=r\,\mathrm d\theta\,\vec e_\theta$.
• En faisant varier $z$ seul : $\mathrm d\vec{OM}=\mathrm dz\,\vec e_z$.

Par superposition (linéarité du premier ordre) : $\mathrm d\vec{OM}=\mathrm dr\,\vec e_r+r\,\mathrm d\theta\,\vec e_\theta+\mathrm dz\,\vec e_z$

Vitesse

On écrit $\vec{OM}=r\vec e_r+z\vec e_z$ et on dérive par rapport au temps, en tenant compte de $\dot{\vec e}_r=\dot\theta\,\vec e_\theta$ et $\dot{\vec e}_\theta=-\dot\theta\,\vec e_r$ (dérivation en chaîne avec $\theta(t)$) : $\vec v=\dot r\,\vec e_r+r\,\dot\theta\,\vec e_\theta+\dot z\,\vec e_z$

Accélération

On dérive $\vec v$ en dérivant chaque produit (de la forme $u\,\vec e$) : $\vec a=\left(\ddot r-r\,\dot\theta^{\,2}\right)\vec e_r+\left(r\,\ddot\theta+2\,\dot r\,\dot\theta\right)\vec e_\theta+\ddot z\,\vec e_z$

• Composante radiale : $\ddot r$ (variation du rayon) et $-r\dot\theta^{\,2}$ (accélération centripète due à la rotation).
• Composante orthoradiale : $r\ddot\theta$ (variation de la vitesse angulaire) et $2\dot r\dot\theta$ (terme de Coriolis cinématique).
• Composante axiale : $\ddot z$.

Coordonnées sphériques

Expressions fournies si besoin (paramétrage par $(r,\theta,\varphi)$), non à établir : on saura les projeter et les utiliser lorsqu'elles sont données.

5. Mouvement à accélération constante

Intégration temporelle

Soit $\vec a=\vec a_0$ constant. Par intégrations successives (conditions initiales $\vec v(0)=\vec v_0$, $\vec{OM}(0)=\vec{OM}_0$) : $\vec v(t)=\vec v_0+\vec a\,t$ $\vec{OM}(t)=\vec{OM}_0+\vec v_0\,t+\tfrac{1}{2}\,\vec a\,t^2$

Trajectoire parabolique (champ de pesanteur)

Dans le champ de pesanteur uniforme $\vec g=-g\,\vec e_z$ (ou $\vec e_y$ selon le repère), avec $\vec v_0$ dans le plan $(Oxz)$ :

• $v_x=v_{0x}$, $v_z=v_{0z}-g\,t$ ; $x=v_{0x}\,t$, $z=z_0+v_{0z}\,t-\tfrac12 g\,t^2$.
• Élimination de $t$ ($t=x/v_{0x}$) : trajectoire parabolique d'équation $z=z_0+\frac{v_{0z}}{v_{0x}}\,x-\frac{g}{2\,v_{0x}^{\,2}}\,x^2$

La portée, la flèche et l'angle de tir optimal ($\theta_0=45°$ en l'absence de frottement) s'obtiennent par analyse de cette parabole.

6. Mouvement circulaire (coordonnées polaires planes)

Le point $M$ reste sur un cercle de centre $O$ et de rayon $R$ constant : $r=R=\mathrm{cste}$, $\theta=\theta(t)$. Coordonnées polaires planes $(r,\theta)$ dans le plan du mouvement.

Position, vitesse, accélération

• Position : $\vec{OM}=r\,\vec e_r$.
• Vitesse ($\dot r=0$) : $\vec v=r\,\dot\theta\,\vec e_\theta$
• Accélération ($\dot r=0$, $\ddot r=0$) : $\vec a=-r\,\dot\theta^{\,2}\,\vec e_r+r\,\ddot\theta\,\vec e_\theta$

Mouvement circulaire uniforme

$\dot\theta=\omega=\mathrm{cste}$ (donc $\ddot\theta=0$) : $\vec v=R\,\omega\,\vec e_\theta=v\,\vec e_\theta\quad\text{avec }v=R\omega$ $\vec a=-R\,\omega^{\,2}\,\vec e_r=-\frac{v^2}{R}\,\vec e_r$

L'accélération est purement centripète, de norme $v^2/R=R\omega^2$, dirigée vers le centre du cercle. Le vecteur vitesse est tangent au cercle.

Mouvement circulaire non uniforme

$\omega=\omega(t)$ : il apparaît une composante orthoradiale $R\,\ddot\theta\,\vec e_\theta$ (accélération tangentielle) en plus de la composante centripète $-R\dot\theta^{\,2}\,\vec e_r$.

7. Repère de Frenet pour une trajectoire plane

Lorsque la trajectoire est connue (courbe plane), on repère $M$ par son abscisse curviligne $s(t)$ et on définit en $M$ :

• Vecteur tangent unitaire $\vec e_t$ : dans le sens du mouvement, tangent à la trajectoire.
• Vecteur normal unitaire $\vec e_n$ : perpendiculaire à $\vec e_t$, orienté vers le centre de courbure (concavité).
• $(\vec e_t,\vec e_n)$ : repère de Frenet, lié au point $M$.

Vitesse et accélération

• Vitesse : $\vec v=v\,\vec e_t$ avec $v=\dot s$ (vitesse scalaire, algébrique).
• Accélération : $\vec a=\dot v\,\vec e_t+\frac{v^2}{R}\,\vec e_n$ où $R$ est le rayon de courbure de la trajectoire en $M$ ($R>0$).

Interprétation qualitative et liens

• $\vec v$ est toujours tangent à la trajectoire, dans le sens du mouvement.
• $\vec a$ est toujours dirigé vers la concavité de la trajectoire (du fait de la composante normale $v^2/R\geq 0$).
• Composante tangentielle $\dot v$ : mesure la variation de la norme de la vitesse (accélération si $\dot v>0$, décélération si $\dot v<0$, nulle si mouvement uniforme).
• Composante normale $v^2/R$ : traduit la courbure de la trajectoire ; elle est nulle pour une ligne droite ($R\to\infty$), et d'autant plus grande que la trajectoire est courbée et la vitesse élevée. Elle existe même si le mouvement est uniforme (cas du mouvement circulaire uniforme : $\dot v=0$, $a_n=v^2/R$).
• Lien avec les coordonnées polaires pour le cercle : $\vec e_t=\vec e_\theta$ et $\vec e_n=-\vec e_r$.

8. Savoir-faire exigibles

• Citer une situation où la description classique de l'espace ou du temps est prise en défaut (vitesse comparable à $c$ : muons cosmiques, GPS, particules relativistes).
• Construire à partir d'un schéma le déplacement élémentaire dans les différents systèmes de coordonnées et le trièdre local associé.
• Déduire géométriquement les composantes du vecteur vitesse en coordonnées cartésiennes et cylindriques.
• Établir les expressions des composantes des vecteurs position, déplacement élémentaire, vitesse et accélération dans les cas des coordonnées cartésiennes et cylindriques.
• Identifier les degrés de liberté d'un mouvement (paramètres indépendants après prise en compte des contraintes).
• Choisir un système de coordonnées adapté au problème (symétries, nature de la trajectoire, contraintes).
• Pour un mouvement à accélération constante : exprimer $\vec v(t)$ et $\vec{OM}(t)$ et établir l'équation de la trajectoire en coordonnées cartésiennes.
• Exprimer les composantes des vecteurs position, vitesse et accélération en coordonnées polaires planes pour un mouvement circulaire (uniforme et non uniforme).
• Repérer un point dont la trajectoire est connue ; exprimer vitesse et accélération dans le repère de Frenet pour une trajectoire plane.
• Situer qualitativement la direction du vecteur vitesse (tangent, sens du mouvement) et du vecteur accélération (vers la concavité) pour une trajectoire plane.
• Exploiter les liens entre composantes de $\vec a$, courbure de la trajectoire, norme de $\vec v$ et sa variation temporelle $\dot v$.
• Réaliser et exploiter quantitativement un enregistrement vidéo d'un mouvement : pointage, extraction des positions, tracé et évolution temporelle des vecteurs vitesse et accélération.

9. Pièges et points clés

• Base mobile : en cylindriques, $(\vec e_r,\vec e_\theta)$ dépendent de $\theta$ ; on ne dérive jamais un vecteur de la base comme s'il était constant. Penser à $\dot{\vec e}_r=\dot\theta\,\vec e_\theta$ et $\dot{\vec e}_\theta=-\dot\theta\,\vec e_r$.
• Terme centripète : $-r\dot\theta^{\,2}\vec e_r$ existe même si $r$ est constant et $\omega$ constant (mouvement circulaire uniforme) — un mouvement uniforme n'est pas un mouvement non accéléré.
• Double produit dans l'accélération : $2\dot r\dot\theta$ provient de la dérivée du produit $r\dot\theta\,\vec e_\theta$ (terme en $\dot r\dot\theta\,\vec e_\theta$) et de la dérivée de $\vec e_\theta$ (terme en $-r\dot\theta^{\,2}\vec e_r$ déjà compté). Bien distinguer les deux origines.
• $r$ en cylindriques / polaires : $r\geq 0$ n'est pas une distance algébrique ; un point « derrière » l'origine se repère par $\theta\to\theta+\pi$.
• Frenet vs polaires : le repère de Frenet s'applique à toute trajectoire plane connue (non nécessairement circulaire) ; $\vec e_n$ pointe vers le centre de courbure, donc vers la concavité — attention au signe par rapport à $\vec e_r$ selon le côté où se trouve le centre.
• Vitesse scalaire et norme : $v=\dot s$ est algébrique en Frenet ; la norme de la vitesse est $|v|$. Pour un mouvement rétrograde, $\dot s<0$ mais $\|\vec v\|\geq 0$.
• Choix du système : cartésiennes pour translations/rectilignes avec axes bien orientés ; polaires planes pour un cercle ; cylindriques pour une symétrie de révolution (hélice, pendule conique) ; sphériques pour une symétrie sphérique (mouvement sur sphère, champ central).
• Enregistrement vidéo : veiller à la calibration (échelle spatiale, fréquence d'images), au repère choisi, et à l'orientation de l'axe vertical ; les dérivées numériques amplifient le bruit de pointage — moyenner ou lisser avant de dériver.