Fiche 2.2 — Lois de Newton

Thème : Mouvements et interactions (1) — Semestre : 1 — Chapitre : 2.2

Objectifs

Renforcer la mise en équation d'un problème de mécanique (bilan des forces, projection de la 2ème loi sur la base choisie), développer l'analyse qualitative d'une équation différentielle (stabilité, positions d'équilibre, vitesse limite, durée ou période typique), articuler cette analyse avec la résolution numérique, et confronter les modèles de forces à leurs limites de validité (modélisation et validation).

1. Quantité de mouvement

Point matériel : $\vec p=m\vec v$ , où $m$ est la masse (positive, scalaire) et $\vec v$ la vitesse dans le référentiel d'étude.
Système de points (discret) : $\vec p=\displaystyle\sum_i m_i\vec v_i$ .
Centre d'inertie $G$ d'un système de points : $m\vec v_G=\displaystyle\sum_i m_i\vec v_i$ , avec $m=\sum_i m_i$ masse totale. D'où, pour un système de deux points (ou par généralisation) : $\vec p=m\vec v_G$
Système fermé : pas d'échange de matière avec l'extérieur $\Rightarrow$ $m$ constante, conservation de la masse. Seuls les systèmes fermés admettent une masse bien définie ; un système ouvert (fusee, goutte qui s'évapore) impose de redéfinir le système ou de raisonner sur un système fermé élargi.

2. Première loi — Principe d'inertie

Énoncé : il existe des référentiels, dits galiléens, dans lesquels un point matériel isolé ou pseudo-isolé ( $\sum\vec F_{\mathrm{ext}}=\vec 0$ ) est animé d'un mouvement rectiligne uniforme : $\vec v=\mathrm{cste}$ .
Pour un système fermé pseudo-isolé : $\vec v_G=\mathrm{cste}$ (mouvement rectiligne uniforme du centre d'inertie).
Référentiels galiléens : approximation valable sur une durée courte devant les temps caractéristiques d'évolution du référentiel. Le référentiel de Copernic (héliocentrique) est galiléen à l'échelle astronomique ; le référentiel terrestre (lié au laboratoire) est galiléen à l'échelle de l'expérience pour des durées courtes devant le jour ; le référentiel géocentrique est galiléen pour les satellites.
Mouvement relatif de deux référentiels galiléens : deux référentiels galiléens sont nécessairement en translation rectiligne uniforme l'un par rapport à l'autre. La transformation de Galilée relie les coordonnées : $\vec r'=\vec r-\vec V\,t$ , $\vec v'=\vec v-\vec V$ , avec $\vec V=\mathrm{cste}$ .

3. Troisième loi — Action et réaction

Énoncé : pour deux points $A$ et $B$ en interaction, $\vec F_{A\to B}=-\vec F_{B\to A}$
Les deux forces sont portées par la droite $(AB)$ (interaction centrale) pour des forces d'interaction gravitationnelle, électrostatique, etc.
Toujours vraie pour des points matériels, même hors équilibre et hors référentiel galiléen.
Attention : ne s'applique pas telle quelle à une force "de contact" étendue (frottement fluide, force de Magnus...) qui résulte d'une interaction avec un milieu continu.

4. Deuxième loi — Théorème de la quantité de mouvement

Énoncé général (dans un référentiel galiléen) : $\frac{\mathrm d\vec p}{\mathrm dt}=\sum\vec F_{\mathrm{ext}}$
Point matériel à masse constante : $\vec p=m\vec v$ avec $m$ cste, d'où $m\vec a=\sum\vec F_{\mathrm{ext}}$
Centre d'inertie d'un système fermé : $m$ constante, donc $m\vec a_G=\sum\vec F_{\mathrm{ext}}$ Le mouvement du centre d'inertie est celui d'un point matériel soumis à la résultante des forces extérieures. Les forces intérieures n'interviennent pas (elles se compensent deux à deux par la 3ème loi).
Méthode de mise en équation (à systématiser) :
1. Définir le système (fermé, masse $m$ ).
2. Choisir un référentiel d'étude galiléen et une base de projection (cartésienne, polaire, Frenet...).
3. Faire le bilan des forces extérieures et les représenter sur un schéma.
4. Écrire la 2ème loi et projeter sur chaque axe de la base.
5. Identifier les conditions initiales et les contraintes (fil, support...).
6. Valider les hypothèses retenues (glissement/non-glissement, régime linéaire...).

5. Champ de pesanteur uniforme — Mouvement parabolique

Modèle : au voisinage de la surface d'une planète, sur des dimensions petites devant le rayon $R_T$ , le champ de pesanteur est uniforme : $\vec g=-g\,\vec u_z\quad\text{(axe vertical orienté vers le haut)},\qquad g\approx 9{,}8\ \mathrm{m\,s^{-2}}\ (\text{Terre})$
Origine : force de gravitation $\vec F_{P\to M}=-\mathcal G\dfrac{mM_P}{r^2}\vec u_r$ , uniformisée localement. Le poids est $\vec P=m\vec g$ .
Chute libre sans frottement (point matériel, $\vec P$ $P$ seule) :
- Équations (origine au lancer, $\vec v_0=v_0\cos\alpha\,\vec u_x+v_0\sin\alpha\,\vec u_z$ ) : $\ddot x=0,\qquad \ddot z=-g$
- Intégration : $x(t)=v_0\cos\alpha\,t,\qquad z(t)=-\tfrac12 g t^2+v_0\sin\alpha\,t$
- Trajectoire (parabole) : $z(x)=-\dfrac{g\,x^2}{2v_0^2\cos^2\alpha}+x\tan\alpha$ .
- Portée : $x_{\mathrm{max}}=\dfrac{v_0^2\sin(2\alpha)}{g}$ (maximale pour $\alpha=45°$ ). Flèche : $h=\dfrac{v_0^2\sin^2\alpha}{2g}$ .

6. Frottement fluide

Modèles

Linéaire (vitesse faible, fluide visqueux) : $\vec f=-\alpha\,\vec v$ , $\alpha>0$ ( $\mathrm{kg\,s^{-1}}$ ).
Quadratique (vitesse élevée, écoulement turbulent) : $\vec f=-\beta\,v\,\vec v$ , $\beta>0$ ( $\mathrm{kg\,m^{-1}}$ ).
Le choix du modèle dépend du nombre de Reynolds $\mathrm{Re}=\rho v L/\eta$ : $\mathrm{Re}\ll1$ régime visqueux (linéaire), $\mathrm{Re}\gg1$ régime inertiel (quadratique). Validité à tester expérimentalement.

Chute verticale avec frottement linéaire

Système : point matériel de masse $m$ , axe $(Oz)$ vertical orienté vers le bas, vitesse $v=\dot z$ . Bilan : $m\vec g$ et $\vec f=-\alpha\vec v$ . Projection : $m\dot v=mg-\alpha v\quad\Longleftrightarrow\quad \tau\dot v+v=v_\ell$ avec vitesse limite $v_\ell=\dfrac{mg}{\alpha}$ et durée caractéristique $\tau=\dfrac{m}{\alpha}$ .
Analyse qualitative sans résoudre :
- Équilibre mécanique $\dot v=0$ $\Rightarrow$ $v=v_\ell$ (unique, stable : si $v<v_\ell$ , $\dot v>0$ , $v$ croît ; si $v>v_\ell$ , $\dot v<0$ , $v$ décroît).
- Durée typique de transit vers $v_\ell$ : $\tau=m/\alpha$ .
- À $t\gg\tau$ , régime asymptotique uniforme $v\approx v_\ell$ .

Adimensionnement

On pose $v=v_\ell\,u$ et $t=\tau\,t^*$ ; l'équation devient $\frac{\mathrm du}{\mathrm dt^*}+u=1$ L'adimensionnement réduit le problème à une équation à un seul paramètre (ici : aucun) ; on identifie sans calcul les échelles pertinentes $v_\ell$ et $\tau$ , et on compare des situations physiques différentes partageant la même équation réduite.

Régime quadratique

Équation : $m\dot v=mg-\beta v^2$ , soit $\dot v=g(1-v^2/v_\ell^{\,2})$ avec $v_\ell=\sqrt{mg/\beta}$ . Même analyse qualitative (équilibre stable $v=v_\ell$ , durée typique $\tau=\sqrt{m/(\beta g)}=v_\ell/g$ ).

Simulation numérique

Discrétisation (Euler explicite) : $v_{n+1}=v_n+\Delta t\,(g-\alpha v_n/m)$ . Choisir $\Delta t\ll\tau$ pour la stabilité. Vérifier la convergence vers $v_\ell$ et la cohérence avec l'analyse qualitative (ordre de grandeur de $\tau$ , de $v_\ell$ ).

7. Élasticité linéaire — Ressort

Loi de Hooke pour un resort de longueur à vide $\ell_0$ et de raideur $k>0$ , orienté par $\vec u$ (de l'extrémité fixe vers le point $M$ ) : $\vec F=-k(\ell-\ell_0)\,\vec u$
Écriture équivalente en longueur $L$ entre points d'attache : $\vec F=k(L_0-L)\,\vec u$ selon convention. $k$ en $\mathrm{N\,m^{-1}}$ , $\ell_0$ en $\mathrm{m}$ .
Tension : $T=k|\ell-\ell_0|$ ; le resort est tracté ( $\ell>\ell_0$ , force de rappel) ou comprimé ( $\ell<\ell_0$ ).
Extraction de $k$ et $\ell_0$ : tracer $T=k|\ell-\ell_0|$ (ou $F$ vs $\ell$ ) à partir de mesures (capteur de force, microcontrôleur en test de traction) ; la pente donne $k$ , l'intersection avec l'axe des abscisses donne $\ell_0$ .
Limites du modèle linéaire : validité dans le domaine élastique (déformation réversible) ; au-delà d'un seuil (limite élastique), apparaissent plasticité (déformation permanente), endommagement, puis rupture. Le document expérimental $T(\ell)$ permet de situer ces domaines et de délimiter le régime linéaire.

8. Tension d'un fil — Pendule simple

Fil inextensible, de masse négligeable

Tension $\vec T$ du fil sur le point matériel : portée par le fil, dirigée du point vers le point d'attache ; intensité $T\geq 0$ a priori inconnue (déterminée par les équations). Un fil est supposé inextensible : la distance entre extrémités est fixée (contrainte holonome).

Pendule simple

Point $M$ de masse $m$ suspendu à un fil de longueur $\ell$ , dans le champ $\vec g$ uniforme. Paramètre : angle $\theta$ entre le fil et la verticale descendante. Base polaire $(\vec u_r,\vec u_\theta)$ , $r=\ell$ constant.
Bilan des forces : poids $m\vec g$ (vertical, selon $-\vec u_z$ ) et tension $\vec T=-T\,\vec u_r$ .
Projection de $m\vec a=\sum\vec F$ $m a = \sum F$ avec $\vec a=(-\ell\dot\theta^2)\,\vec u_r+(\ell\ddot\theta)\,\vec u_\theta$ $a = (- ℓ \dot{θ}^{2}) u_{r} + (ℓ \ddot{θ}) u_{θ}$ :
- Selon $\vec u_r$ : $-m\ell\dot\theta^2=-T+mg\cos\theta$ $\Rightarrow$ $T=m\ell\dot\theta^2+mg\cos\theta$ .
- Selon $\vec u_\theta$ : $m\ell\ddot\theta=-mg\sin\theta$ , soit $\ddot\theta+\frac{g}{\ell}\sin\theta=0$
Approximation linéaire (petites oscillations, $\theta\ll1$ rad, $\sin\theta\approx\theta$ ) : $\ddot\theta+\omega_0^2\,\theta=0,\qquad \omega_0=\sqrt{\frac{g}{\ell}},\qquad T_0=\frac{2\pi}{\omega_0}=2\pi\sqrt{\frac{\ell}{g}}$
Oscillateur harmonique : équation canonique $\ddot q+\omega_0^2 q=0$ , solution $\theta(t)=\theta_m\cos(\omega_0 t+\varphi)$ . La pulsation $\omega_0$ est indépendante de l'amplitude (isochronisme des petites oscillations) — propriété perdue hors approximation linéaire (période augmentant avec l'amplitude).
Analyse qualitative (équation complète) : équilibres $\theta=0$ (stable, minimum d'énergie potentielle) et $\theta=\pi$ (instable) ; période augmentant avec $\theta_m$ et divergeant à l'approche de $\pi$ (rotation au-dessus).

9. Frottement de glissement — Lois de Coulomb

Modèle

Contact solide–solide avec frottement sec. On décompose la réaction du support en composante normale $\vec R_n$ (perpendiculaire au plan de contact) et tangentielle $\vec T$ (opposée au glissement effectif ou présumé).
Coefficient de frottement $\mu$ (sans dimension), généralement $\mu_s$ (statique) $\geq \mu_d$ (dynamique). Ordre de grandeur : $\mu\sim 0{,}2$ à $0{,}6$ pour des contacts courants.

Trois situations

Équilibre (pas de glissement, $\vec v=\vec 0$ ) : $|\vec T|\leq \mu_s |\vec R_n|$ . La composante tangentielle s'ajuste pour équilibrer les autres forces tant que $|\vec T|\leq \mu_s|\vec R_n|$ .
Mise en mouvement : le glissement démarre dès que la force tangentielle imposée dépasse le seuil $|\vec T|=\mu_s|\vec R_n|$ .
Freinage / glissement effectif ( $\vec v\neq\vec 0$ ) : $\vec T=-\mu_d|\vec R_n|\,\vec u_{\vec v}$ , opposée à la vitesse de glissement, avec $\mu_d\leq \mu_s$ .

Cône de frottement — Angle critique

Sur un plan incliné d'angle $\alpha$ par rapport à l'horizontale, un objet immobile y reste tant que $\tan\alpha\leq\mu_s$ . L'angle critique $\varphi$ vérifie $\tan\varphi=\mu_s$
Au-delà ( $\alpha>\varphi$ ), mise en mouvement ; en-deça, équilibre possible.

Méthode : hypothèse de glissement / non-glissement

Formuler une hypothèse (par ex. : "il n'y a pas glissement" $\Rightarrow$ $\vec v=\vec 0$ et $|\vec T|\leq\mu_s|\vec R_n|$ ; ou bien "glissement selon $+\vec u_x$ " $\Rightarrow$ $\vec T=-\mu_d|\vec R_n|\,\vec u_x$ ).
Résoudre le bilan des forces et la 2ème loi sous cette hypothèse (calculer $T$ et $R_n$ ).
Valider : vérifier que la condition associée est satisfaite ( $|\vec T|\leq\mu_s|\vec R_n|$ pour le non-glissement ; sens de $\vec T$ cohérent avec $\vec v$ pour le glissement). Si la validation échoue, reprendre l'autre hypothèse.

10. Savoir-faire exigibles

Exploiter la conservation de la masse pour un système fermé.
Établir l'expression de la quantité de mouvement d'un système de points sous la forme $\vec p=m\vec v_G$ .
Décrire le mouvement relatif de deux référentiels galiléens (translation rectiligne uniforme).
Établir un bilan des forces sur un système ou sur plusieurs systèmes en interaction et le représenter sur un schéma.
Déterminer les équations du mouvement d'un point matériel ou du centre de masse d'un système fermé dans un référentiel galiléen.
Mettre en œuvre un protocole expérimental permettant d'étudier une loi de force.
Étudier le mouvement d'un point matériel dans un champ de pesanteur uniforme en l'absence de frottement (trajectoire, portée, flèche).
Exploiter sans la résoudre une équation différentielle : analyse en ordres de grandeur, détermination de la vitesse limite, utilisation des résultats d'une simulation numérique.
Écrire une équation adimensionnée et identifier les échelles caractéristiques.
Mettre en œuvre un protocole expérimental de mesure de frottements fluides.
Modéliser un comportement élastique par une loi de force linéaire ; extraire une raideur $k$ et une longueur à vide $\ell_0$ à partir de données mesurées ou fournies.
Analyser la limite d'une modélisation linéaire à partir de documents expérimentaux.
Mettre en œuvre un microcontrôleur lors d'un test de traction.
Établir l'équation du mouvement du pendule simple.
Justifier l'analogie avec l'oscillateur harmonique dans le cadre de l'approximation linéaire.
Exploiter les lois de Coulomb dans les trois situations : équilibre, mise en mouvement, freinage.
Formuler une hypothèse (quant au glissement ou non) et la valider.

11. Pièges et points clés

Système fermé obligatoire : la 2ème loi $m\vec a_G=\sum\vec F_{\mathrm{ext}}$ suppose $m$ constante ; pour un système ouvert, redéfinir le système ou raisonner sur un système fermé élargi.
Les forces intérieures n'interviennent pas dans le mouvement de $G$ : elles se compensent par la 3ème loi. Ne pas les inclure dans le bilan.
Référentiel galiléen : hypothèse à expliciter ; un référentiel en rotation (terrestre sur longue durée) ne l'est plus — effets inertielles (Coriolis, centrifuge) hors cadre ici.
Projection : choisir la base adaptée au problème (cartésienne pour la chute libre, polaire/Frenet pour le pendule et les mouvements circulaires) ; toujours expliciter les composantes de $\vec a$ dans cette base avant de projeter.
Vitesse limite : obtenue sans résoudre l'ED, en écrivant $\dot v=0$ ; vérifier la stabilité (signe de $\dot v$ de part et d'autre) avant de conclure.
Adimensionnement : ne pas l'oublier ; il révèle la combinaison pertinente des paramètres et le nombre de degrés libres du problème.
Pendule : l'approximation $\sin\theta\approx\theta$ est un développement à l'ordre 1 ; se justifie pour $\theta\ll1$ rad ( $\theta\lesssim 10°$ en pratique). Hors ce cadre, la période dépend de l'amplitude.
Frottement de Coulomb : $\mu_s\neq\mu_d$ en général ; ne pas utiliser $\mu_d$ pour tester une condition d'équilibre.
Validation d'hypothèse : un calcul sous hypothèse de non-glissement doit toujours être suivi du test $|\vec T|\leq \mu_s|\vec R_n|$ ; sans ce test, la conclusion n'est pas valide.
Limites des modèles de forces : linéarité du ressort, domaine de validité du frottement fluide (Reynolds), petits angles du pendule — toute modélisation doit être confrontée à l'expérience pour délimiter son champ de validité.