Fiche 2.3 — Approche énergétique du mouvement d'un point matériel

Thème : Mouvements et interactions (1) — Semestre : 1 — Chapitre : 2.3

Objectifs

Construire une démarche alternative et complémentaire de la dynamique pour étudier le mouvement d'un point matériel, fondée sur la conservation de l'énergie mécanique. Établir les théorèmes de l'énergie cinétique et mécanique, relier forces conservatives et énergies potentielles, et exploiter les analyses graphique (puits/barrière de potentiel) et numérique (résolution d'une équation différentielle non-linéaire) pour décrire le comportement du système.

1. Puissance et travail d'une force

Soit un point matériel $M$ animé de la vitesse $\vec v$ dans un référentiel $\mathcal R$ et soumis à une force $\vec F$.

• Puissance de $\vec F$ dans $\mathcal R$ : $P(\vec F)=\vec F\cdot\vec v$ Unité : le watt ($\mathrm W=\mathrm J\cdot\mathrm s^{-1}$). Grandeur algébrique.
• Travail élémentaire : $\delta W=\vec F\cdot\mathrm d\vec{OM}=P(\vec F)\,\mathrm dt$
• Travail sur un trajet $A\to B$ : $W_{A\to B}=\int_A^B \vec F\cdot\mathrm d\vec{OM}$
• Caractère moteur ou résistant :
  • $P>0$ (ou $W>0$) : la force est motrice (elle « pousse » le mouvement).
  • $P<0$ (ou $W<0$) : la force est résistante (elle s'oppose au mouvement).
  • $P=0$ : la force ne travaille pas (par exemple force perpendiculaire à $\vec v$, ou pas de déplacement).

Le travail est noté $\delta W$ (et non $\mathrm dW$) car il n'est pas, en général, une différentielle totale exacte : il dépend du chemin suivi.

2. Énergie cinétique et théorèmes associés

Énergie cinétique

Pour un point matériel de masse $m$ et de vitesse $\vec v$ dans $\mathcal R$ : $E_c=\dfrac12 m v^2\qquad (v=\|\vec v\|)$ Unité : le joule ($\mathrm J$). Grandeur positive.

Théorème de l'énergie cinétique (TEC)

Dans un référentiel galiléen, pour un point matériel soumis à un ensemble de forces $\vec F_i$ : $\Delta E_c=E_c(B)-E_c(A)=\sum_i W_{i,\,A\to B}$ Forme globale : sur un intervalle de temps ou de trajet.

Théorème de la puissance cinétique

Forme locale (instantanée) du TEC : $\dfrac{\mathrm dE_c}{\mathrm dt}=\sum_i P_i$

Choix selon le contexte

• On préfère la forme intégrale (TEC) lorsque l'on cherche une vitesse en un point particulier ou un bilan sur un trajet connu, sans se préoccuper du détail temporel.
• On préfère la forme différentielle (puissance) lorsque le problème est posé en fonction du temps, qu'il fait intervenir un flux ou une dissipation instantanée, ou que l'on veut aboutir à une équation différentielle.

3. Force conservative et énergie potentielle

Définition

Une force $\vec F$ est dite conservative s'il existe une fonction $E_p$ des coordonnées (et non du temps ni de la vitesse) telle que : $\vec F=-\vec\nabla E_p$ Le gradient (expression fournie dans toute configuration utile) vaut, en coordonnées cartésiennes : $\vec\nabla E_p=\dfrac{\partial E_p}{\partial x}\,\vec u_x+\dfrac{\partial E_p}{\partial y}\,\vec u_y+\dfrac{\partial E_p}{\partial z}\,\vec u_z$ Propriété équivalente : le travail d'une force conservative est indépendant du chemin ; sa circulation le long d'un parcours fermé est nulle.

Énergies potentielles usuelles

• Pesanteur (champ uniforme $\vec g=-g\,\vec u_z$, origine des altitudes arbitraire) : $E_p=mgz$
• Gravitationnelle (astre ponctuel de masse $M$, référence $E_p(\infty)=0$) : $E_p=-\dfrac{G\,m\,M}{r}\qquad (r=OM)$
• Élastique (ressort de raideur $k$, longueur à vide $\ell_0$, allongement $x=\ell-\ell_0$) : $E_p=\dfrac12 k(\ell-\ell_0)^2=\dfrac12 k x^2$

Détermination de $\vec F$ à partir de $E_p$

Connaître $E_p$ permet de remonter à $\vec F$ par $\vec F=-\vec\nabla E_p$. Exemples :

• pesanteur : $\vec F=-\dfrac{\partial}{\partial z}(mgz)\,\vec u_z=-mg\,\vec u_z$ ;
• gravitation : $\vec F=-\dfrac{\partial}{\partial r}\!\left(-\dfrac{GmM}{r}\right)\vec u_r=-\dfrac{GmM}{r^2}\vec u_r$ ;
• élastique : $\vec F=-\dfrac{\partial}{\partial x}\!\left(\dfrac12 kx^2\right)\vec u_x=-kx\,\vec u_x$.

Lecture qualitative sur un graphe $E_p(x)$

En une dimension, $\vec F=-\dfrac{\mathrm dE_p}{\mathrm dx}\,\vec u_x$ :

• la pente $\dfrac{\mathrm dE_p}{\mathrm dx}$ donne, au signe près, l'intensité de la force ;
• la force pointe vers les minima de $E_p$ (pente positive $\Rightarrow$ force vers les $x$ décroissants, et inversement) ;
• plus la pente est raide, plus la force est intense.

4. Énergie mécanique et mouvement conservatif

Définition

L'énergie mécanique d'un point matériel est la somme de son énergie cinétique et de son énergie potentielle : $E_m=E_c+E_p$

Théorème de l'énergie mécanique

Soit $W_{\mathrm{nc}}$ (resp. $P_{\mathrm{nc}}$) le travail total (resp. la puissance totale) des forces non conservatives. Dans un référentiel galiléen : $\Delta E_m=W_{\mathrm{nc}}\qquad\text{ou}\qquad \dfrac{\mathrm dE_m}{\mathrm dt}=P_{\mathrm{nc}}$ Les forces conservatives ne contribuent pas : leur travail est déjà compté via $E_p$.

Mouvement conservatif

Si toutes les forces qui s'exercent sont conservatives (et en l'absence de transfert d'énergie interne), alors $W_{\mathrm{nc}}=0$ et : $E_m=\text{constante}$ La valeur de la constante est fixée par les conditions initiales : $E_m=E_c(t_0)+E_p(t_0)$ Connaître l'état initial suffit pour prédire l'évolution énergétique du système.

Distinguer conservative / non conservative

• Conservative : pesanteur, gravitation, force de rappel élastique, force électrique (en régime statique).
• Non conservative : frottements solides, frottements fluides, force de Lorentz magnétique (ne travaille pas mais n'est pas conservative au sens strict car non dérivée d'un potentiel scalaire), forces motrices externes.

5. Mouvement conservatif à une dimension

On se place à une dimension ; l'énergie mécanique $E_m$ est constante. On a : $E_c=E_m-E_p(x)=\dfrac12 m v^2\geq 0$ Les régions accessibles sont donc celles où $E_p(x)\leq E_m$.

Barrière et puits de potentiel

• Puits de potentiel : minimum local de $E_p$ entouré de valeurs plus élevées.
• Barrière de potentiel : maximum local de $E_p$ entouré de valeurs plus basses.

Comportement qualitatif

• Trajectoire bornée : si $E_m$ est comprise entre le fond d'un puits et les barrières latérales, le point est confiné dans une zone $[x_{\min},x_{\max}]$ ; le mouvement est périodique (aller-retour entre les points de vitesse nulle).
• Trajectoire non bornée : si $E_m$ dépasse la barrière d'un côté, le point peut s'échapper à l'infini.
• Positions de vitesse nulle : ce sont les abscisses $x$ vérifiant $E_p(x)=E_m$ (car $E_c=0$). Ce sont les points de retournement du mouvement.

6. Positions d'équilibre et stabilité

Position d'équilibre

À une dimension, une position d'équilibre $x_{\mathrm{éq}}$ vérifie $\vec F=\vec 0$, soit : $\dfrac{\mathrm dE_p}{\mathrm dx}(x_{\mathrm{éq}})=0$ Graphiquement : extremum (tangente horizontale) de $E_p$.

Stabilité

• Stable : $E_p$ présente un minimum local en $x_{\mathrm{éq}}$ (la force ramène le point vers l'équilibre).
• Instable : $E_p$ présente un maximum local en $x_{\mathrm{éq}}$ (la force écarte le point de l'équilibre).

Le signe de la dérivée seconde permet de trancher : $\dfrac{\mathrm d^2E_p}{\mathrm dx^2}(x_{\mathrm{éq}})>0\ \text{(stable)}\qquad ;\qquad \dfrac{\mathrm d^2E_p}{\mathrm dx^2}(x_{\mathrm{éq}})<0\ \text{(instable)}$ Si la dérivée seconde est nulle, il faut examiner les ordres supérieurs.

7. Petits mouvements au voisinage d'un équilibre stable

Approximation harmonique

Soit $x_0=x_{\mathrm{éq}}$ un équilibre stable. On pose $u=x-x_0$. Le développement de Taylor de $E_p$ au voisinage de $x_0$ donne : $E_p(x)\approx E_p(x_0)+\dfrac12\,\dfrac{\mathrm d^2E_p}{\mathrm dx^2}(x_0)\,u^2$ La constante $E_p(x_0)$ ne joue aucun rôle dynamique. La force associée est linéarisée : $F=-\dfrac{\mathrm dE_p}{\mathrm dx}\approx -\dfrac{\mathrm d^2E_p}{\mathrm dx^2}(x_0)\,u$ Le principe fondamental $m\ddot u=F$ conduit à l'équation différentielle du mouvement : $\ddot u+\omega_0^2\,u=0\qquad\text{avec}\qquad \omega_0^2=\dfrac{1}{m}\,\dfrac{\mathrm d^2E_p}{\mathrm dx^2}(x_0)$ Le système se comporte comme un oscillateur harmonique de pulsation propre $\omega_0$ (puits de potentiel parabolique). Solutions : $u(t)=A\cos(\omega_0 t)+B\sin(\omega_0 t)$, ou $u(t)=u_{\max}\cos(\omega_0 t+\varphi)$.

Effet des termes non-linéaires

L'approximation harmonique néglige les termes d'ordre supérieur du développement : $E_p(x)=E_p(x_0)+\dfrac12 (E_p)''(x_0)u^2+\dfrac{1}{6}(E_p)'''(x_0)u^3+\dfrac{1}{24}(E_p)''''(x_0)u^4+\cdots$ Lorsque l'amplitude du mouvement n'est plus petite, ces termes deviennent notables et l'équation différentielle devient non-linéaire : la période dépend alors de l'amplitude, et le mouvement peut s'écarter notablement de la sinusoïde idéale. On les met en évidence par résolution numérique (cf. savoir-faire).

8. Savoir-faire exigibles

• Reconnaître le caractère moteur ou résistant d'une force à partir du signe de sa puissance (ou de son travail).
• Utiliser le théorème approprié en fonction du contexte : théorème de l'énergie cinétique (forme intégrale) ou de la puissance cinétique (forme différentielle), selon que l'on raisonne sur un trajet/une durée ou sur un instant donné.
• Établir et citer les expressions des énergies potentielles de pesanteur ($E_p=mgz$), gravitationnelle ($E_p=-GmM/r$) et élastique ($E_p=\tfrac12 kx^2$), en précisant à chaque fois le choix de l'origine ou de la référence.
• Déterminer l'expression d'une force à partir de l'énergie potentielle, l'expression du gradient étant fournie ($\vec F=-\vec\nabla E_p$).
• Déduire qualitativement, en un point d'un graphe d'énergie potentielle, le sens et l'intensité de la force associée (pente $\leftrightarrow$ force, orientation vers les minima).
• Distinguer force conservative et force non conservative (indépendance du travail vis-à-vis du chemin, existence d'un potentiel).
• Reconnaître les cas de conservation de l'énergie mécanique (toutes les forces conservatives) et utiliser les conditions initiales pour fixer la valeur de $E_m$.
• Identifier sur un graphe d'énergie potentielle une barrière et un puits de potentiel.
• Déduire d'un graphe d'énergie potentielle le comportement qualitatif : trajectoire bornée ou non, mouvement périodique, positions de vitesse nulle (résoudre $E_p(x)=E_m$).
• Déduire d'un graphe d'énergie potentielle l'existence de positions d'équilibre ($\mathrm dE_p/\mathrm dx=0$) et analyser qualitativement leur stabilité (minimum stable, maximum instable).
• Établir l'équation différentielle du mouvement au voisinage d'une position d'équilibre stable par développement de Taylor de $E_p$ et identifier le puits harmonique ($\ddot u+\omega_0^2 u=0$, $\omega_0^2=(E_p)''(x_0)/m$).
• Capacité numérique : à l'aide d'un langage de programmation, résoudre numériquement une équation différentielle du deuxième ordre non-linéaire (méthode d'Euler, RK4, etc.) et faire apparaître l'effet des termes non-linéaires (dépendance de la période vis-à-vis de l'amplitude, écart à la sinusoïde).

9. Pièges et points clés

• Référentiel galiléen obligatoire pour le TEC et le théorème de l'énergie mécanique.
• La puissance et le travail dépendent du référentiel choisi : une force peut travailler dans un référentiel et pas dans un autre.
• Ne pas confondre $\delta W$ (différentielle non exacte, dépend du chemin) et $\mathrm dE_p$ (différentielle exacte d'une fonction d'état).
• L'origine de $E_p$ est arbitraire pour la pesanteur (on choisit le point le plus bas) ; la référence est imposée à l'infini pour l'énergie potentielle gravitationnelle ($E_p(\infty)=0$), ce qui explique le signe négatif.
• Dans le théorème de l'énergie mécanique, ne pas comptabiliser le travail des forces conservatives (déjà inclus via $E_p$) : seul $W_{\mathrm{nc}}$ intervient.
• Conservation de $E_m$ $\neq$ conservation de $E_c$ : un mouvement conservatif voit l'énergie osciller entre forme cinétique et forme potentielle.
• Une position d'équilibre vérifie $\mathrm dE_p/\mathrm dx=0$, mais la nature stable/instable se lit au signe de la dérivée seconde (ou à la concavité du graphe).
• L'approximation harmonique n'est valable que pour de petits écarts à l'équilibre : pour les amplitudes finies, les termes non-linéaires modifient la période et la forme de la solution — c'est l'objet de l'étude numérique.
• Vérifier la cohérence dimensionnelle de $\omega_0^2=(E_p)''(x_0)/m$ : $(E_p)''$ a la dimension d'une force par longueur, soit $\mathrm N\cdot\mathrm m^{-1}=\mathrm{kg}\cdot\mathrm s^{-2}$.