Fiche 2.4 — Mouvement de particules chargées dans des champs électrique et magnétostatique uniformes et stationnaires

Thème : Mouvements et interactions (1) — Semestre : 1 — Chapitre : 2.4

Objectifs

Introduire la force de Lorentz s'exerçant sur une particule chargée dans des champs $\vec E$ et $\vec B$ uniformes et stationnaires, en délimiter le domaine de validité, et maîtriser deux situations de base : le mouvement dans un champ électrostatique uniforme et le mouvement dans un champ magnétostatique uniforme avec $\vec v_0\perp\vec B$. Donner du sens physique à ces résultats par des applications concrètes (oscilloscope, sélectionneur de vitesse, spectrométrie de masse, cyclotron) — la partie ne doit pas se réduire à des développements calculatoires.

1. Force de Lorentz

• Expression : pour une particule de charge $q$ et de vitesse $\vec v$ plongée dans un champ électrostatique $\vec E$ et un champ magnétostatique $\vec B$, $\vec F=q\left(\vec E+\vec v\times\vec B\right)$
• Décomposition :
  • terme électrique $\vec F_E=q\vec E$ : indépendant de $\vec v$, colinéaire à $\vec E$ (sens selon $\mathrm{signe}(q)$) ;
  • terme magnétique $\vec F_B=q\,\vec v\times\vec B$ : $\perp\vec v$ et $\perp\vec B$, module $|\vec F_B|=|q|\,vB\,|\sin\theta|$ avec $\theta=(\vec v,\vec B)$.
• Hypothèses du modèle : particule ponctuelle ; champs $\vec E$ (électrostatique) et $\vec B$ (magnétostatique) uniformes et stationnaires ; régime non relativiste ($v\ll c$) ; forces de rayonnement négligées.
• Ordre de grandeur des forces :
  • Électron dans un champ typique de laboratoire ($E\sim 10^4\ \mathrm{V\,m^{-1}}$, $B\sim 10^{-1}\ \mathrm{T}$, $v\sim 10^6\ \mathrm{m\,s^{-1}}$) : $F_E=eE\sim 1{,}6\times10^{-15}\ \mathrm{N},\qquad F_B=evB\sim 1{,}6\times10^{-14}\ \mathrm{N}$
  • Poids de l'électron : $P=mg\sim 9\times10^{-30}\ \mathrm{N}$.
  • Conclusion : à l'échelle de la particule chargée (électron, ion), le poids est négligeable devant les forces électromagnétiques (rapport $\sim 10^{-14}$ pour l'électron). On le néglige systématiquement sauf contexte explicite (gouttelette de l'expérience de Millikan, par exemple).

2. Puissance de la force de Lorentz

• Puissance instantanée reçue par la particule : $P=\vec F\cdot\vec v=q\left(\vec E+\vec v\times\vec B\right)\cdot\vec v=q\,\vec E\cdot\vec v+(\vec v\times\vec B)\cdot\vec v$
• Le terme magnétique est nul car $\vec v\times\vec B\perp\vec v$, donc : $P=q\,\vec E\cdot\vec v\qquad\text{et}\qquad P_B=0$
• Conséquences physiques :
  • Le champ $\vec E$ travaille et modifie l'énergie cinétique : théorème de la puissance cinétique $\dfrac{dE_c}{dt}=q\,\vec E\cdot\vec v$.
  • Le champ $\vec B$ ne travaille pas : il courbe la trajectoire sans fournir ni reprendre de l'énergie à la particule. L'énergie cinétique (et donc $|\vec v|$) est conservée en présence de $\vec B$ seul.

3. Mouvement dans un champ électrostatique uniforme

Mise en équation

• Principe fondamental de la dynamique (poids négligé) : $m\vec a=q\vec E\quad\Longrightarrow\quad \vec a=\frac{q}{m}\vec E\ \text{constant}$
• Il s'agit d'un mouvement à vecteur accélération constant (cf. fiche 2.1) : la trajectoire est parabolique si $\vec v_0$ n'est pas parallèle à $\vec E$, rectiligne uniformément accélérée sinon.
• Sens de l'accélération : celui de $\vec E$ si $q>0$, opposé à $\vec E$ si $q<0$.

Accélération par une différence de potentiel

• Une particule de charge $q$ est accélérée par une ddp $U$ entre deux plaques. Théorème de l'énergie cinétique (force électrique conservative) : $\Delta E_c=\frac12 mv^2-\frac12 mv_0^2=q\,U$
• Cas fréquent $v_0=0$ (particule émise au repos) : $v=\sqrt{\frac{2\,q\,U}{m}}$
• Attention au signe : la particule est accélérée seulement si $qU>0$ (le travail moteur implique qu'elle se dirige vers les potentiels décroissants pour $q>0$, croissants pour $q<0$).

4. Mouvement dans un champ magnétostatique uniforme ($\vec v_0\perp\vec B$)

Mise en équation

• PFD : $m\vec a=q\,\vec v\times\vec B$. Comme $\vec F_B\perp\vec v$, la puissance est nulle, donc $|\vec v|=\mathrm{cste}=v_0$.
• Dans le plan perpendiculaire à $\vec B$, l'accélération est centripète, de module $|\vec a|=\dfrac{|q|Bv_0}{m}$ : la trajectoire est circulaire uniforme.

Caractéristiques

• Rayon de courbure (rayon cyclotron) : $R=\frac{mv_0}{|q|\,B}$
• Pulsation cyclotron (indépendante de $v_0$) : $\omega_c=\frac{|q|\,B}{m}\qquad f_c=\frac{\omega_c}{2\pi}=\frac{|q|\,B}{2\pi m}$
• Période : $T_c=\dfrac{2\pi m}{|q|\,B}$, indépendante de $v_0$ : particules rapides et lentes d'un même type parcourent des cercles de rayons différents mais à même période — clé du cyclotron.
• Sens de parcours : déterminé par $\mathrm{signe}(q)$ via $\vec v\times\vec B$ (règle des trois doigts / produit vectoriel). Pour un $\vec B$ donné, $q>0$ et $q<0$ décrivent des cercles parcourus en sens opposés.
• Énergie cinétique conservée ($P_B=0$) : $\vec B$ ne fait que courber la trajectoire.

5. Applications

Oscilloscope (déviation électrique)

• Faisceau d'électrons traversant un condensateur plan (longueur $\ell$, tension $U$ entre plaques distantes de $d$) : champ $\vec E=-\,\dfrac{U}{d}\,\vec u_y$.
• Déviation sur l'écran (distance $D$ à la sortie du condensateur) : $\delta\simeq \dfrac{U\ell}{2d\,U_{\mathrm{acc}}}\left(\ell+2D\right)$, proportionnelle à $U$ (déflexion linéaire).
• Principe identique dans un tube cathodique.

Sélectionneur de vitesse

• Dispositif à champs $\vec E$ et $\vec B$ croisés ($\vec E\perp\vec B$) et orthogonaux à la vitesse initiale $\vec v_0$. Forces $\vec F_E=q\vec E$ et $\vec F_B=q\,\vec v_0\times\vec B$ opposées.
• Vitesse sélectionnée (force nette nulle) : $v_0=\frac{E}{B}$
• Indépendant de $q$ et $m$ : seules les particules de vitesse $E/B$ sortent en ligne droite.

Spectromètre de masse

• Étape 1 : accélération par une ddp $U$ $\Rightarrow$ $v=\sqrt{2qU/m}$.
• Étape 2 : sélection de vitesse ($v=E/B$).
• Étape 3 : déviation dans $\vec B'$ seul ($\vec v\perp\vec B'$) : cercle de rayon $R=\dfrac{mv}{|q|B'}=\dfrac{1}{|q|B'}\sqrt{\dfrac{2mU}{|q|}}$.
• Détection après un demi-cercle : la position d'impact mesure $R$, donc $m/q$ : séparation des isotopes.

Cyclotron

• Deux demi-cylindres (dees) dans un $\vec B$ uniforme ; champ $\vec E$ alternatif de fréquence $f_c$ entre les dees.
• À chaque passage, $\vec E$ accélère la particule (apport d'énergie) ; dans une dee, $\vec B$ impose un demi-cercle de rayon $R=\dfrac{mv}{|q|B}$ croissant avec $v$.
• $T_c$ est indépendant de $v$ : la fréquence du générateur reste fixe, synchronisée tant que le régime non relativiste tient.
• Énergie finale $E_c=\dfrac12 mv^2=\dfrac{(qBR)^2}{2m}$, limitée par le rayon $R_{\max}$ des dees.

6. Savoir-faire exigibles

• Énoncer l'expression de la force de Lorentz $\vec F=q(\vec E+\vec v\times\vec B)$ et identifier le caractère électrostatique/magnétostatique des champs.
• Évaluer les ordres de grandeur des forces électrique et magnétique et les comparer au poids de la particule (justifier la négligence de la force gravitationnelle).
• Calculer la puissance de la force de Lorentz et justifier que $P_B=0$.
• Justifier qu'un champ $\vec E$ peut modifier l'énergie cinétique alors qu'un champ $\vec B$ courbe la trajectoire sans fournir d'énergie à la particule.
• Mettre en équation le mouvement dans un champ $\vec E$ uniforme et le caractériser comme mouvement à accélération constante.
• Réaliser un bilan énergétique pour déterminer la vitesse d'une particule accélérée par une ddp : $\dfrac12 mv^2-\dfrac12 mv_0^2=qU$ ; cas $v_0=0$.
• Déterminer le rayon $R=\dfrac{mv}{|q|B}$, la pulsation cyclotron $\omega_c=\dfrac{|q|B}{m}$ et le sens de parcours (règle des trois doigts / produit vectoriel) du mouvement circulaire uniforme dans $\vec B$ avec $\vec v_0\perp\vec B$.
• Justifier la conservation de l'énergie cinétique dans $\vec B$ seul ($P_B=0$).
• Mettre en œuvre les situations de base en autonomie et mobiliser ces résultats dans les applications : déviation d'oscilloscope, sélectionneur de vitesse ($v=E/B$), spectromètre de masse, cyclotron.

7. Pièges et points clés

• Ne pas oublier le signe de $q$ : il fixe le sens de $\vec F_E$ et le sens de parcours dans $\vec B$. Utiliser $|q|$ dans $R$ et $\omega_c$, mais garder $q$ dans $qU$ et $q\vec E$.
• $\vec B$ ne fournit aucune énergie : un raisonnement énergétique dans $\vec B$ seul conserve $|\vec v|$, pas un raisonnement « $\vec B$ accélère la particule ».
• Conditions d'application : champs uniformes et stationnaires ; $v\ll c$ (formule non relativiste — le cyclotron cesse d'être synchronisé à haute énergie quand $\omega_c$ varie avec $m$ relativiste).
• La ddp $U$ accélère une particule seulement si $qU>0$ : veiller au sens de branchement selon le signe de la charge.
• Dans le sélectionneur de vitesse, les forces s'opposent : orientation de $\vec E$ et $\vec B$ à choisir en cohérence avec $\mathrm{signe}(q)$ pour que $q\vec E$ et $q\,\vec v\times\vec B$ se compensent.
• Le rayon cyclotron dépend de $v$, la pulsation cyclotron non : distinction essentielle pour comprendre le cyclotron.
• À l'échelle de la particule, le poids est négligeable devant les forces électromagnétiques ; ne pas l'invoquer sauf indication contraire (gouttelettes, aérosols...).