Fiche 2.5 — Moment cinétique

Thème : Mouvements et interactions (2) — Semestre : 2 — Chapitre : 2.5

Objectifs

Introduire les notions de moment cinétique d'un point matériel et d'un système discret, par rapport à un point et à un axe orienté. Construire des représentations concrètes (bras de levier) donnant du sens aux grandeurs vectorielles et algébriques mises en jeu, et identifier les situations où le moment cinétique est conservé. Le théorème du moment cinétique et l'étude quantitative de la conservation sont traités au chapitre 2.6.

1. Moment cinétique d'un point matériel par rapport à un point $O$

Définition

Soit un point matériel $M$ de masse $m$, de quantité de mouvement $\vec p=m\vec v$ dans un référentiel galiléen. Le moment cinétique de $M$ par rapport au point fixe $O$ est le moment de $\vec p$ en $O$ :

$\vec L_O=\vec{OM}\times\vec p=\vec{OM}\times m\vec v$

• Grandeur vectorielle, exprimée en $\mathrm{kg\,m^2\,s^{-1}}$ (soit $\mathrm{J\,s}$).
• Dépend du point $O$ choisi comme origine des moments.

Direction et sens : lien avec le mouvement

$\vec L_O$ est orthogonal au plan défini par $\vec{OM}$ et $\vec p$ (donc au plan de la trajectoire quand $O$ appartient à ce plan). Pour un mouvement plan dans le plan $(Oxy)$, le produit vectoriel est porté par l'axe $(Oz)$ :

$\vec L_O=L_z\,\vec u_z,\qquad L_z=m(\vec{OM}\times\vec v)\cdot\vec u_z$

• Mouvement dans le sens direct (trigo) autour de $O$ : $L_z>0$, $\vec L_O$ selon $+\vec u_z$.
• Mouvement dans le sens rétrograde (horaire) : $L_z<0$, $\vec L_O$ selon $-\vec u_z$.

Relier la direction et le sens de $\vec L_O$ aux caractéristiques du mouvement : l'orientation du produit vectoriel traduit directement le sens de « rotation » du point autour de $O$.

2. Moment cinétique par rapport à un axe orienté $(\Delta)$

Définition

Soit $(\Delta)$ un axe orienté par le vecteur unitaire $\vec u_\Delta$, et $O$ un point quelconque de cet axe. Le moment cinétique par rapport à l'axe $(\Delta)$ est la projection du moment cinétique vectoriel :

$L_\Delta=\vec L_O\cdot\vec u_\Delta$

• Grandeur algébrique (signe selon orientation de l'axe et sens de rotation).
• Indépendante du point $O$ choisi sur l'axe : tout déplacement de $O$ le long de $(\Delta)$ ajoute à $\vec L_O$ un vecteur parallèle à $\vec p$ ou orthogonal à $\vec u_\Delta$, dont la projection sur $\vec u_\Delta$ est nulle (on peut le vérifier via $\vec{OM}=\vec{OO'}+\vec{O'M}$ avec $O'$ sur l'axe).
• Unité : $\mathrm{kg\,m^2\,s^{-1}}$.

Caractère algébrique

Le signe de $L_\Delta$ résulte de la convention d'orientation de l'axe :

• rotation du point dans le sens direct relativement à $\vec u_\Delta$ : $L_\Delta>0$ ;
• rotation dans le sens rétrograde : $L_\Delta<0$.

Inverser l'orientation de l'axe change le signe de $L_\Delta$ ; la grandeur physique conservée, elle, est invariante.

3. Bras de levier : représentation concrète

Projection de la quantité de mouvement

Notons $d$ la distance du point $M$ à l'axe $(\Delta)$ (bras de levier de la quantité de mouvement), et $\vec p_\perp$ la composante de $\vec p$ perpendiculaire au plan défini par $(\Delta)$ et $M$ (i.e. la composante qui « fait tourner » $M$ autour de l'axe). Alors :

$L_\Delta=\pm\, d\,p_\perp$

Le signe $\pm$ est fixé par le sens de rotation par rapport à l'orientation de l'axe. La composante de $\vec p$ parallèle au plan $(\Delta,M)$ ne contribue pas à $L_\Delta$.

Interprétation mécanique

• Plus le point est éloigné de l'axe ($d$ grand), plus son moment cinétique est important, à quantité de mouvement égale : effet de bras de levier.
• Plus la composante « tangentielle » $p_\perp$ est grande, plus le moment cinétique est important.
• Image concrète : la patineuse qui écarte ou rapproche ses bras modifie sa répartition de masse par rapport à l'axe de rotation, et donc son moment cinétique (cf. conservation, chap. 2.6).

4. Moment cinétique d'un système discret de points par rapport à un axe

Additivité

Pour un système $\{M_i,m_i\}$ ($i=1,\dots,N$) de points matériels, le moment cinétique par rapport à un axe orienté $(\Delta)$ est la somme algébrique des moments cinétiques individuels :

$L_\Delta=\sum_{i=1}^{N} L_{\Delta,i}=\sum_{i=1}^{N}\vec L_{O,i}\cdot\vec u_\Delta$

où $O$ est un point quelconque de $(\Delta)$.

• Caractère algébrique : chaque $L_{\Delta,i}$ est signé ; des points tournant en sens opposés par rapport à l'axe contribuent de signes opposés, et peuvent partiellement se compenser.
• L'orientation de l'axe doit être la même pour tous les termes : on oriente $(\Delta)$ une fois pour toutes avant de sommer.

5. Cas particulier : mouvement circulaire d'un point autour de l'axe $(Oz)$

Expression de $L_z$

Soit un point $M$ de masse $m$ en mouvement circulaire de rayon $r$ dans le plan $(Oxy)$, autour de l'axe $(Oz)$ orienté par $\vec u_z$. En coordonnées cylindriques, $\vec{OM}=r\,\vec u_r$ et $\vec v=r\dot\theta\,\vec u_\theta$, d'où :

$\vec L_O = \vec{OM}\times m\vec v = m r^2 \dot\theta\,\vec u_z$

et donc la composante sur l'axe :

$\boxed{\,L_z = m r^2 \dot\theta\,}$

Remarques

• $mr^2$ apparaît comme le coefficient reliant la vitesse angulaire $\dot\theta$ au moment cinétique : c'est la prémisse du moment d'inertie $J_\Delta=\sum_i m_i r_i^{\,2}$, qui sera formalisé en 2.6 pour les solides.
• Pour un mouvement circulaire plan, $\vec L_O$ est bien porté par $\vec u_z$ et $L_z$ est bien algébrique : signe de $\dot\theta$ (sens de rotation) par rapport à l'orientation de l'axe.
• $L_z=m r^2\dot\theta$ montre que, pour une même vitesse angulaire, un point éloigné de l'axe porte un moment cinétique plus important ($r^2$) : même effet de bras de levier qu'à la section 3.

6. Identification qualitative des cas de conservation

Le théorème du moment cinétique et l'étude quantitative de la conservation relèvent du chapitre 2.6. On se contente ici d'identifier les situations physiques où le moment cinétique (par rapport à un point ou un axe) se conserve.

• Conservation par rapport à un point $O$ : attendue lorsque la résultante des forces exercées sur le système ne crée pas de moment en $O$, c'est-à-dire lorsque le système est isolé ou soumis à des forces de moment nul en $O$ (forces centrales de centre $O$, par exemple).
• Conservation par rapport à un axe $(\Delta)$ : attendue lorsque la somme des moments des forces par rapport à $(\Delta)$ est nulle — typiquement pour un système isolé ou dont les moments extérieurs par rapport à l'axe se compensent.
• Exemples à reconnaître : planètes/comètes autour du Soleil (force centrale), toupie ou patineuse sur axe vertical (moment du poids nul par rapport à l'axe vertical), système isolé en translation/rotation.

L'accent est mis sur la reconnaissance physique de ces situations avant la mise en équations (chap. 2.6).

7. Savoir-faire exigibles

• Définir le moment cinétique vectoriel $\vec L_O=\vec{OM}\times m\vec v$ d'un point matériel par rapport à un point $O$.
• Relier la direction et le sens de $\vec L_O$ aux caractéristiques du mouvement (orientation du produit vectoriel, sens direct/rétrograde, cas plan suivant $\vec u_z$).
• Définir le moment cinétique par rapport à un axe orienté $L_\Delta=\vec L_O\cdot\vec u_\Delta$ ; justifier son indépendance du point $O$ choisi sur l'axe.
• Définir le moment cinétique d'un système discret par rapport à un axe orienté comme somme algébrique $L_\Delta=\sum_i L_{\Delta,i}$.
• Utiliser le caractère algébrique du moment cinétique scalaire : orienter l'axe, attribuer le bon signe à chaque contribution, inverser le signe lors d'une inversion d'orientation.
• Mettre en œuvre la formule du bras de levier $L_\Delta=\pm d\,p_\perp$ et l'interpréter concrètement.
• Établir et exploiter l'expression $L_z=mr^2\dot\theta$ pour un mouvement circulaire autour de l'axe $(Oz)$ ; identifier $mr^2$ comme prémisse du moment d'inertie.
• Identifier qualitativement les situations où le moment cinétique (par rapport à un point ou un axe) est conservé (système isolé, force centrale, moment nul).

8. Pièges et points clés

• Moment vectoriel vs moment algébrique : $\vec L_O$ dépend du point $O$, mais $L_\Delta$ n'en dépend pas (pourvu que $O\in(\Delta)$). Ne pas confondre les deux notions.
• Orientation de l'axe : toujours orienter $(\Delta)$ avant tout calcul ; le signe de $L_\Delta$ n'a de sens qu'avec cette convention. Inverser l'axe inverse tous les signes.
• Additivité algébrique : pour un système, on somme des grandeurs signées — un point tournant « à l'envers » de l'axe contribue négativement.
• Bras de levier : seule la composante de $\vec p$ perpendiculaire au plan $(\Delta,M)$ contribue à $L_\Delta$ ; la composante parallèle à ce plan ne crée pas de rotation autour de l'axe.
• Sens de rotation : sens direct (trigonométrique) $\Rightarrow$ $L_\Delta>0$ si l'axe est orienté dans le sens correspondant ; bien respecter la règle de la main droite pour le produit vectoriel.
• $mr^2$ n'est pas encore le moment d'inertie : c'est sa forme pour un point unique ; la généralisation à un solide (somme $\sum_i m_i r_i^{\,2}$) vient en 2.6.
• Conservation : l'identification qualitative suffit ici ; la démonstration par le théorème du moment cinétique est traitée en 2.6 — ne pas anticiper la démonstration, mais savoir reconnaître les situations (système isolé, force centrale).