Fiche 2.6 — Mouvements dans un champ de force centrale conservatif

Thème : Mouvements et interactions (2) — Semestre : 2 — Chapitre : 2.6

Objectifs

Étudier le mouvement d'un point matériel soumis à une force centrale conservative : exploiter la conservation du moment cinétique pour ramener un problème à 2D, construire une énergie potentielle effective et discuter qualitativement le caractère borné (état lié / état de diffusion). Particulariser au champ newtonien, énoncer les lois de Kepler, établir le mouvement circulaire et sa période, exprimer les énergies mécaniques (circulaire et elliptique) et décrire les principales missions de satellites terrestres.

1. Moment d'une force

Moment par rapport à un point fixe $O$

$\vec M_O(\vec F)=\vec{OM}\times\vec F$

Vecteur orthogonal au plan formé par $\vec{OM}$ et $\vec F$, de norme $||\vec{OM}||\,||\vec F||\,\sin\alpha$ ($\alpha$ angle des deux vecteurs). Unité : $\mathrm{N\,m}$.

Moment par rapport à un axe orienté $\Delta$

Soit $\vec u_\Delta$ vecteur unitaire orientant l'axe $\Delta$ passant par $O$ :

$M_\Delta(\vec F)=\vec M_O(\vec F)\cdot\vec u_\Delta=\pm d\,F_\perp$

• $d$ : bras de levier, distance de $O$ (ou de l'axe $\Delta$) à la droite d'action de $\vec F$ ;
• $F_\perp$ : composante de $\vec F$ orthogonale à l'axe ;
• signe $+$ si la force tend à provoquer une rotation dans le sens direct de $\vec u_\Delta$, $-$ sinon.

2. Moment cinétique et théorème du moment cinétique

Moment cinétique en un point fixe $O$

$\vec L_O=\vec{OM}\times m\vec v$

Théorème du moment cinétique (référentiel galiléen, $O$ fixe)

$\frac{\mathrm d\vec L_O}{\mathrm dt}=\vec M_O\!\left(\sum\vec F_{\mathrm{ext}}\right)$

Projection sur un axe $\Delta$ fixe

$\frac{\mathrm dL_\Delta}{\mathrm dt}=M_\Delta\!\left(\sum\vec F_{\mathrm{ext}}\right)$

Validité : $O$ (ou l'axe $\Delta$) doit être fixe dans le référentiel galiléen d'étude (ou être le centre d'inertie $G$).

3. Conservation du moment cinétique — force centrale

Cas d'une force centrale de centre $O$

$\vec F=f(r)\vec e_r \Rightarrow \vec{OM}\parallel\vec F \Rightarrow \vec M_O(\vec F)=\vec 0$, donc

$\vec L_O=\vec{OM}\times m\vec v=\mathrm{cste}$

Conséquences

• Mouvement plan : $\vec L_O$ constant fixe le plan du mouvement (orthogonal à $\vec L_O$) ; on adopte les coordonnées polaires $(r,\theta)$ dans ce plan.
• Constante des aires : $L=mr^2\dot\theta=C$ (constante), soit $r^2\dot\theta=C$
• Vitesse aréolaire : $\dfrac{\mathrm dA}{\mathrm dt}=\dfrac{C}{2}$ (aire balayée par unité de temps par le rayon $\vec{OM}$).

4. Champ de force central conservatif — énergie mécanique

Champ central conservatif

$\vec F=f(r)\,\vec e_r,\qquad E_p(r)\ \text{telle que}\ \vec F=-\dfrac{\mathrm dE_p}{\mathrm dr}\vec e_r$

L'énergie potentielle ne dépend que de $r$ ; dérive d'un potentiel et travail nul sur tout cycle.

Énergie mécanique (conservation)

$E_m=\frac12 m\big(\dot r^{\,2}+r^2\dot\theta^{\,2}\big)+E_p(r)=\mathrm{cste}$

En éliminant $\dot\theta$ par la constante des aires $L=mr^2\dot\theta$ :

$E_m=\frac12 m\dot r^{\,2}+\underbrace{E_p(r)+\frac{L^2}{2mr^2}}_{E_{p,\mathrm{eff}}(r)}$

Énergie potentielle effective

$E_{p,\mathrm{eff}}(r)=E_p(r)+\frac{L^2}{2mr^2}$

Le terme $\dfrac{L^2}{2mr^2}$ est la barrière centrifuge (positif, divergeant en $r\to 0$) ; il traduit l'effet de la conservation du moment cinétique sur le mouvement radial.

Étude qualitative du mouvement radial

Le problème à une dimension radiale se ramène à : $\frac12 m\dot r^{\,2}+E_{p,\mathrm{eff}}(r)=E_m$

Les positions accessibles vérifient $E_m\geq E_{p,\mathrm{eff}}(r)$. Les points où $E_m=E_{p,\mathrm{eff}}(r)$ ($\dot r=0$) sont les points de rebroussement.

• État lié : $r$ borné entre $r_{\min}$ et $r_{\max}$ (deux points de rebroussement finis) ; trajectoire fermée (ellipse dans le cas newtonien).
• État de diffusion : un seul point de rebroussement $r_{\min}$, $r\to\infty$ accessible ; le point s'échappe à l'infini.
• Cas limite : $E_m=0$ ou égale à un extremum de $E_{p,\mathrm{eff}}$ : trajectoire limite (parabolique ou circulaire).

Caractère borné du mouvement radial : il est lié à la valeur de $E_m$ par rapport aux extrema de $E_{p,\mathrm{eff}}$ — un minimum local de $E_{p,\mathrm{eff}}$ permet un état lié ; un $E_m$ supérieur à la limite asymptotique donne un état de diffusion.

5. Capacité numérique — trajectoires par intégration

À l'aide d'un langage de programmation (Python), obtenir les trajectoires d'un point matériel soumis à un champ de force centrale conservatif :

• intégrer le système d'équations du premier ordre $\dot r=v_r,\qquad \dot v_r=\frac{C^2}{r^3}-\frac{1}{m}\frac{\mathrm dE_p}{\mathrm dr},\qquad \dot\theta=\frac{C}{r^2}$
• (méthode d'Euler ou de RK4, pas de temps suffisamment fin) ;
• visualiser la trajectoire $r(\theta)$ et vérifier la conservation simultanée de $E_m$ et $L$ (indicateur de qualité de l'intégration).

6. Champ newtonien — lois de Kepler

Définition

$\vec F=-\frac{GmM}{r^2}\,\vec e_r,\qquad E_p(r)=-\frac{GmM}{r}\quad(\text{origine à l'infini})$

Forme unifiée : $\vec F=\dfrac{k}{r^2}\vec e_r$ avec $k=-GmM<0$ (attractif) et $E_p(r)=\dfrac{k}{r}$.

Lois de Kepler (planètes $\to$ satellites)

1. Loi des orbites : les trajectoires sont des coniques (ellipses pour les états liés) dont l'un des foyers est occupé par l'astre attirant.
2. Loi des aires : le rayon $\vec{OM}$ balaie des aires égales en des durées égales ($\mathrm dA/\mathrm dt=C/2=\mathrm{cste}$).
3. Loi des périodes : pour une trajectoire elliptique de demi-grand axe $a$, $\frac{T^2}{a^3}=\mathrm{cste}=\frac{4\pi^2}{GM_{\text{astre}}}$

Transposition satellites terrestres : même forme avec $M_\oplus$ ; $a$ mesuré depuis le centre de la Terre.

7. Mouvement circulaire

Uniformité

Pour un cercle de rayon $r_0$, $\dot r=0$ et la conservation de $L$ impose $\dot\theta=\mathrm{cste}$ : le mouvement est circulaire uniforme. La condition $E_m=E_{p,\mathrm{eff}}(r_0)$ (minimum de $E_{p,\mathrm{eff}}$) fournit le rayon stable.

Vitesse et période

Équation newtonienne $m\dfrac{v^2}{r_0}=\dfrac{GmM}{r_0^2}$ :

$v=\sqrt{\frac{GM}{r_0}},\qquad T=\frac{2\pi r_0}{v}=2\pi\sqrt{\frac{r_0^3}{GM}}$

C'est la 3e loi de Kepler dans le cas circulaire ($T^2/r_0^3=4\pi^2/(GM)$). Généralisation (admise) à l'ellipse en remplaçant $r_0$ par le demi-grand axe $a$ : $T^2/a^3=4\pi^2/(GM)$

8. Énergie mécanique (newtonien)

Mouvement circulaire ($r=r_0$)

$E_m=-\frac{GMm}{2r_0}$

(forme « viriel » : $E_c=-E_m/2$, $E_p=2E_m$).

Mouvement elliptique (demi-grand axe $a$)

$E_m=-\frac{GMm}{2a}$

L'énergie mécanique d'une conique newtonienne ne dépend que du demi-grand axe (et du signe pour distinguer lié/diffusé) : $E_m<0$ ellipse, $E_m=0$ parabole, $E_m>0$ hyperbole.

9. Satellites terrestres

Satellites géostationnaires

• Période : $T=86164\ \mathrm{s}$ (période sidérale de rotation de la Terre).
• Altitude : $T=2\pi\sqrt{r^3/(GM_\oplus)}$ avec $r=R_T+h$ donne $h\approx 36\,000\ \mathrm{km}\quad (r\approx 42\,000\ \mathrm{km})$
• Plan orbital : obligatoirement le plan équatorial (sinon le satellite ne resterait pas fixe par rapport au sol).
• Sens : même sens de rotation que la Terre (rétrograde par rapport au sens de rotation terrestre vu du pôle Nord — en pratique « prograde ») ; orbite circulaire dans le sens de rotation de la Terre.
• Applications : télécommunications, météo, localisation/navigation.

Autres missions

• Localisation/navigation (GPS, Galileo) : constellations en orbite moyenne ($h\approx 20\,000\ \mathrm{km}$), inclinaisons variées pour couverture globale.
• Météorologie (Meteosat) : géostationnaire ou orbite polaire basse ($h\approx 800\ \mathrm{km}$) pour observation globale et résolution fine.
• Observation de la Terre : orbites polaires héliosynchrones, basse altitude.

Différencier ces orbites selon la mission : géostationnaire pour couverture fixe d'une zone, polaire pour balayage complet de la surface, moyenne altitude pour signal de navigation visible depuis plusieurs points.

10. Vitesses cosmiques (dynamique terrestre)

Vitesse en orbite basse (1ère vitesse cosmique)

Pour une altitude négligeable devant $R_T$ ($g=GM_\oplus/R_T^{\,2}$) :

$v_1=\sqrt{\frac{GM_\oplus}{R_T}}=\sqrt{gR_T}\approx 7{,}9\ \mathrm{km\,s^{-1}}$

Vitesse de libération (2e vitesse cosmique)

Énergie $E_m=0$ à la surface (parabole limite) :

$v_\ell=\sqrt{\frac{2GM_\oplus}{R_T}}=\sqrt{2gR_T}\approx 11{,}2\ \mathrm{km\,s^{-1}}$

Relation : $v_\ell=\sqrt2\,v_1$.

Ordres de grandeur : $R_T\approx 6{,}4\times10^3\ \mathrm{km}$, $g\approx 9{,}8\ \mathrm{m\,s^{-2}}$, $GM_\oplus\approx 3{,}98\times10^{14}\ \mathrm{m^3\,s^{-2}}$.

11. Savoir-faire exigibles

• Exprimer le moment d'une force par rapport à un point $O$ et par rapport à un axe orienté via le bras de levier ($M_\Delta=\pm d\,F_\perp$).
• Identifier les cas de conservation du moment cinétique (force centrale de centre $O$, moment nul).
• Établir le théorème du moment cinétique en un point fixe en référentiel galiléen et en déduire les lois de conservation correspondantes.
• Exprimer l'énergie mécanique d'un point matériel conservatif à partir de l'équation du mouvement ; énoncer sa conservation.
• Construire une énergie potentielle effective $E_{p,\mathrm{eff}}(r)=E_p(r)+L^2/(2mr^2)$ et décrire qualitativement le mouvement radial (points de rebroussement, barrière centrifuge).
• Relier le caractère borné du mouvement radial à la valeur de $E_m$ devant les extrema de $E_{p,\mathrm{eff}}$ ; distinguer état lié et état de diffusion.
• Capacité numérique : à l'aide d'un langage de programmation, intégrer les équations et obtenir les trajectoires d'un point matériel soumis à un champ de force centrale conservatif.
• Énoncer les lois de Kepler pour les planètes et les transposer aux satellites terrestres.
• Établir que le mouvement circulaire est uniforme (conservation de $L$) et déterminer sa période.
• Établir la 3e loi de Kepler dans le cas circulaire et exploiter (sans démonstration) sa généralisation à l'ellipse via le demi-grand axe $a$.
• Exprimer l'énergie mécanique circulaire $E_m=-GMm/(2r)$ et l'énergie mécanique elliptique $E_m=-GMm/(2a)$ en fonction du demi-grand axe.
• Différencier les orbites des satellites terrestres (géostationnaire, navigation/localisation, météo) selon leurs missions.
• Déterminer l'altitude d'un satellite géostationnaire et justifier sa localisation dans le plan équatorial.
• Exprimer la vitesse d'orbite basse et la vitesse de libération et citer leurs ordres de grandeur en dynamique terrestre ($\approx 7{,}9\ \mathrm{km/s}$ et $\approx 11{,}2\ \mathrm{km/s}$).

12. Pièges et points clés

• Le théorème du moment cinétique n'est valable qu'en un point fixe d'un référentiel galiléen (ou en $G$) ; sinon il faut ajouter un terme complémentaire.
• Force centrale $\neq$ force conservative : la réciproque est fausse en général. Le champ newtonien est les deux ; un champ $\vec F=f(r)\vec e_r$ est conservatif dès que $f$ ne dépend que de $r$.
• La barrière centrifuge $L^2/(2mr^2)$ n'est pas une énergie potentielle « physique » : elle provient de la réduction du problème à deux dimensions en un problème radial effectif.
• Constan des aires $C=r^2\dot\theta$ : $C=L/m$, ne pas confondre avec $L$ ; la vitesse aréolaire vaut $C/2$.
• L'énergie mécanique d'une orbite newtonienne ne dépend que du demi-grand axe $a$, pas de l'excentricité ; deux ellipses de même $a$ ont même $E_m$.
• Pour le satellite géostationnaire, la période à utiliser est la période sidérale ($86164\ \mathrm{s}$), pas la période solaire ($86400\ \mathrm{s}$).
• La vitesse de libération correspond à $E_m=0$ (parabole), pas à une force nulle : le point reste soumis à l'attraction mais s'échappe asymptotiquement.
• Vérifier la conservation de $E_m$ et de $L$ dans les intégrations numériques : excellent indicateur de la qualité du schéma.