Fiche 2.7 — Mouvement d'un solide

Thème : Mouvements et interactions (2) — Semestre : 2 — Chapitre : 2.7

Objectifs

Décrire le mouvement d'un solide dans deux cas particuliers (translation, rotation autour d'un axe fixe), mettre en œuvre le théorème scalaire du moment cinétique et l'approche énergétique pour un solide en rotation autour d'un axe fixe dans un référentiel galiléen, et étendre le bilan énergétique à un système déformable en y intégrant le travail des forces intérieures. Respecter les limitations du programme : axes fixes, pas de mouvement composé translation + rotation barycentrique, pas d'axe en mouvement.

1. Solide et système déformable

• Solide : système de points tel que la distance entre deux points internes quelconques reste constante au cours du temps, $\forall (M_i,M_j)\in S,\quad \|M_iM_j\|=\mathrm{cte}.$
• Système déformable : système pour lequel au moins une distance interne varie ; l'étude nécessite de prendre en compte le travail des forces intérieures.
• Différenciation : un solide conserve sa forme, un système déformable non. Le théorème du moment cinétique scalaire présenté ci-après s'applique au solide en rotation autour d'un axe fixe.

2. Translation d'un solide

Un solide est en translation lorsque le segment reliant deux points internes quelconques conserve une direction constante au cours du mouvement (le segment reste parallèle à lui-même).

• Translation rectiligne : tout point du solide décrit des segments rectilignes parallèles.
• Translation circulaire : tout point du solide décrit des arcs de cercles parallèles (même rayon, centres distincts). Exemple : une roue de manège maintenue dans un plan vertical et transportée sur un cercle, sans rotation propre autour de son axe — chaque point décrit un cercle de même rayon.
• Propriété fondamentale : pour un solide en translation, tous les points ont, à chaque instant, même vecteur vitesse et même vecteur accélération : $\forall M\in S,\quad \vec v(M)=\vec v(G),\qquad \vec a(M)=\vec a(G).$ La dynamique se ramène alors à celle d'un point matériel situé en $G$.

3. Rotation autour d'un axe fixe $(\Delta)$

On note $(\Delta)$ un axe fixe dans le référentiel d'étude, orienté par un vecteur unitaire $\vec u_\Delta$. Soit $H$ la projection orthogonale d'un point $M$ du solide sur $(\Delta)$ et $r=HM$ la distance de $M$ à l'axe.

• Trajectoire : tout point $M$ du solide décrit un cercle de centre $H$, de rayon $r$, contenu dans le plan perpendiculaire à $(\Delta)$.
• Vitesse angulaire : la vitesse angulaire $\dot\theta$ (dérivée de l'angle $\theta$ repérant la position du solide autour de $(\Delta)$) est commune à tout le solide. C'est le paramètre unique de la rotation.
• Vitesse d'un point : dans la base cylindrique $(\vec e_r,\vec e_\theta,\vec u_\Delta)$ liée à $M$, $\vec v(M)=r\,\dot\theta\,\vec e_\theta.$
• Vitesse de glissement nulle : tout point de l'axe a une vitesse nulle.

4. Moment cinétique scalaire d'un solide en rotation

Pour un solide en rotation autour de l'axe fixe $(\Delta)$, le moment cinétique scalaire par rapport à $(\Delta)$ s'écrit $L_\Delta=J_\Delta\,\dot\theta,$ où le moment d'inertie par rapport à $(\Delta)$ est $J_\Delta=\int r^2\,\mathrm dm.$

• Le moment d'inertie est fourni dans le programme ; on n'en calcule l'expression que dans des cas simples.
• Lien qualitatif avec la répartition des masses : $J_\Delta$ est d'autant plus grand que la masse est répartie loin de l'axe (poids en $r^2$). Déplacer la masse vers l'extérieur augmente $J_\Delta$ ; la concentrer près de l'axe le diminue.

5. Moments d'inertie de solides usuels

Expressions fournies (axe précisé pour chaque solide) :

6. Couple

• Couple : système de forces $\{\vec F_i\}$ de résultante nulle $\sum\vec F_i=\vec 0$ et de moment résultant non nul.
• Moment d'un couple : la somme des moments des forces du couple est indépendante du point où elle est calculée. On note $\vec\Gamma$ le moment du couple ; c'est un vecteur libre.
• Effet : un couple exerce une action qui tend à mettre le solide en rotation sans le translater (résultante nulle).

7. Liaison pivot

• Liaison pivot : liaison mécanique maintenant un axe $(\Delta)$ fixe dans le référentiel d'étude, autorisant uniquement la rotation autour de $(\Delta)$.
• Action de la liaison :
  • elle exerce une résultante quelconque s'opposant à la translation (composantes non nulles en translation) ;
  • elle peut exercer un moment (couple de réaction) suivant l'axe $(\Delta)$ (par exemple couple de frottement sur l'axe), mais aucune composante de moment hors axe en idéalisation parfaite.
• Justification : l'axe étant fixe, la liaison empêche tout mouvement de translation, donc fournit une réaction qui compense les forces extérieures de translation ; le moment de réaction selon $(\Delta)$ compense éventuellement les couples appliqués (frottements de l'axe, couple moteur).

8. Théorème scalaire du moment cinétique

Théorème : pour un solide en rotation autour d'un axe fixe $(\Delta)$ dans un référentiel galiléen, $\boxed{\;J_\Delta\,\ddot\theta=M_\Delta\!\left(\sum\vec F_{\mathrm{ext}}\right)\;}$ où $M_\Delta\!\left(\sum\vec F_{\mathrm{ext}}\right)$ est la somme des moments scalaires par rapport à $(\Delta)$ de toutes les actions extérieures, y compris les couples appliqués (couple moteur, couple de frottement de l'axe, poids, etc.) et le moment de la liaison pivot selon $(\Delta)$.

• On projette le théorème vectoriel du moment cinétique sur l'axe fixe ; la fixation de l'axe par la liaison pivot assure la nullité des composantes hors axe.
• L'écriture scalaire se ramène à une équation différentielle scalaire en $\theta(t)$.

9. Pendule de torsion

Un solide de moment d'inertie $J_\Delta$ est suspendu à un fil de torsion exerçant un couple de rappel $\vec\Gamma=-C\,\theta\,\vec u_\Delta$ ($C>0$, constante de torsion).

• Équation du mouvement (TSMC projeté sur l'axe) : $J_\Delta\,\ddot\theta=-C\,\theta\quad\Longrightarrow\quad \boxed{\;J_\Delta\,\ddot\theta+C\,\theta=0\;}$
• Oscillateur harmonique : pulsation propre $\omega_0=\sqrt{\dfrac{C}{J_\Delta}},\qquad T_0=\dfrac{2\pi}{\omega_0}=2\pi\sqrt{\dfrac{J_\Delta}{C}}.$
• Intégrale première (multiplication par $\dot\theta$ puis intégration, ou conservation de l'énergie mécanique) : $\dfrac{1}{2}J_\Delta\,\dot\theta^{\,2}+\dfrac{1}{2}C\,\theta^2=\mathrm{cte}.$ Solution : $\theta(t)=\theta_m\cos(\omega_0 t+\varphi)$ — oscillations isochrones.

10. Pendule pesant

Solide de masse $m$, de centre d'inertie $G$ tel que $HG=a$ ($H$ sur l'axe $(\Delta)$, $a$ distance $G$–axe), de moment d'inertie $J_\Delta$. L'axe $(\Delta)$ est horizontal, l'angle $\theta$ repère la position de $HG$ par rapport à la verticale descendante.

• Moment du poids par rapport à $(\Delta)$ : $M_\Delta(\vec P)=-mga\sin\theta$.
• Équation du mouvement : $\boxed{\;J_\Delta\,\ddot\theta=-mga\sin\theta\;}$
• Intégrale première (énergie mécanique conservée en l'absence de frottements) : $\dfrac{1}{2}J_\Delta\,\dot\theta^{\,2}-mga\cos\theta=\mathrm{cte}.$
• Étude énergétique : l'énergie mécanique $E_m=\dfrac{1}{2}J_\Delta\,\dot\theta^{\,2}-mga\cos\theta$ diminue en présence de frottements (couple $-\lambda\dot\theta$ sur l'axe) : $\dfrac{\mathrm dE_m}{\mathrm dt}=-\lambda\dot\theta^{\,2}\leq 0$.
• Approximation harmonique : pour $\theta\ll 1$, $\sin\theta\approx\theta$, soit $J_\Delta\,\ddot\theta+mga\,\theta=0$, de pulsation $\omega_0=\sqrt{\dfrac{mga}{J_\Delta}}$.
• Non-isochronisme (capacité numérique) : hors régime linéaire, la période dépend de l'amplitude $\theta_m$. Pour de grandes amplitudes, $T(\theta_m)=T_0\left[1+\dfrac{1}{16}\theta_m^{\,2}+\dfrac{11}{3072}\theta_m^{\,4}+\cdots\right],\qquad T_0=2\pi\sqrt{\dfrac{J_\Delta}{mga}}.$ Mise en évidence numérique : intégration de l'équation $J_\Delta\,\ddot\theta=-mga\sin\theta$ par la méthode d'Euler ou Runge–Kutta (en Python) pour plusieurs amplitudes $\theta_m$, mesure de la période $T(\theta_m)$ et tracé de $T(\theta_m)/T_0$ en fonction de $\theta_m$ — la période croît avec l'amplitude, attestant le non-isochronisme.

11. Énergie cinétique de rotation

Pour un solide en rotation autour d'un axe fixe $(\Delta)$ : $\boxed{\;E_c=\dfrac{1}{2}\,J_\Delta\,\dot\theta^{\,2}\;}$ le moment d'inertie étant fourni. C'est l'analogue rotationnel de $\dfrac12 mv^2$ : masse $\leftrightarrow$ moment d'inertie, vitesse $\leftrightarrow$ vitesse angulaire.

12. Théorème de l'énergie cinétique ; équivalence avec le TSMC

• TEC (solide en rotation autour d'un axe fixe) : entre deux instants $t_1$ et $t_2$, $\Delta E_c=\dfrac{1}{2}J_\Delta\,\dot\theta_2^{\,2}-\dfrac{1}{2}J_\Delta\,\dot\theta_1^{\,2}=\sum W_{\mathrm{ext}}.$ Le travail des forces intérieures est nul pour un solide (distances internes constantes).
• Équivalence TSMC $\leftrightarrow$ TEC : partant du TSMC $J_\Delta\,\ddot\theta=M_\Delta$, multiplier par $\dot\theta$ et intégrer entre $t_1$ et $t_2$ : $\int_{t_1}^{t_2} J_\Delta\,\ddot\theta\,\dot\theta\,\mathrm dt=\dfrac{1}{2}J_\Delta\big[\dot\theta^{\,2}\big]_{t_1}^{t_2},$ $\int_{t_1}^{t_2} M_\Delta\,\dot\theta\,\mathrm dt=\int_{\theta_1}^{\theta_2} M_\Delta\,\mathrm d\theta=\sum W_{\mathrm{ext}}.$ On retrouve le TEC. Les deux théorèmes sont donc équivalents dans ce cas (axe fixe, solide indéformable).

13. Système déformable ; tabouret d'inertie

• TEC pour un système déformable : $\boxed{\;\Delta E_c=\sum W_{\mathrm{ext}}+\sum W_{\mathrm{int}}\;}$ Le travail des forces intérieures doit être pris en compte : il est non nul en général pour un système déformable, nul pour un solide.
• Tabouret d'inertie (personne assise, bras écartés/rapprochés, rotation autour de l'axe vertical fixe, frottements négligés) :
  • Moment cinétique conservé (aucun moment extérieur selon l'axe) : $L_\Delta=J_\Delta\,\dot\theta=\mathrm{cte}.$
  • Lorsque la personne rapproche ses bras, $J_\Delta$ diminue, donc $\dot\theta$ augmente (rotation accélérée) ; écartant les bras, $J_\Delta$ augmente et $\dot\theta$ diminue.
  • Variation d'énergie cinétique : $\Delta E_c=\dfrac12 J_{\Delta,2}\dot\theta_2^{\,2}-\dfrac12 J_{\Delta,1}\dot\theta_1^{\,2}.$ En éliminant $\dot\theta_2$ via $L_\Delta=\mathrm{cte}$, on obtient $\Delta E_c=\dfrac{L_\Delta^{\,2}}{2}\!\left(\dfrac{1}{J_{\Delta,2}}-\dfrac{1}{J_{\Delta,1}}\right)\neq 0$.
  • Cette variation provient du travail des forces intérieures (musculaires) : c'est l'illustration que le travail interne peut modifier l'énergie cinétique d'un système déformable.

14. Savoir-faire exigibles

• Différencier un solide d'un système déformable (distances internes constantes ou non).
• Reconnaître et décrire une translation rectiligne et une translation circulaire (segments / arcs parallèles, même $\vec v$ et $\vec a$ pour tous les points).
• Décrire la trajectoire d'un point quelconque d'un solide en rotation autour d'un axe fixe et exprimer sa vitesse $\vec v(M)=r\,\dot\theta\,\vec e_\theta$.
• Exploiter la relation $L_\Delta=J_\Delta\,\dot\theta$ (moment d'inertie fourni) et relier qualitativement $J_\Delta$ à la répartition des masses.
• Définir un couple (résultante nulle, moment non nul, indépendant du point).
• Définir une liaison pivot et justifier le moment qu'elle peut produire selon l'axe.
• Exploiter le théorème scalaire du moment cinétique pour un solide en rotation autour d'un axe fixe dans un référentiel galiléen.
• Établir l'équation du mouvement et une intégrale première pour le pendule de torsion.
• Établir l'équation du mouvement et une intégrale première pour le pendule pesant ; en réaliser l'étude énergétique et mettre en évidence la diminution de l'énergie mécanique en présence de frottements.
• Capacité numérique : mettre en évidence le non-isochronisme des oscillations d'un pendule pesant à l'aide d'un langage de programmation (intégration de $J\ddot\theta=-mga\sin\theta$, mesure de $T(\theta_m)$).
• Utiliser l'expression de l'énergie cinétique de rotation $E_c=\dfrac12 J_\Delta\dot\theta^{\,2}$ (moment d'inertie fourni).
• Établir l'équivalence entre le théorème scalaire du moment cinétique et le théorème de l'énergie cinétique pour un solide en rotation autour d'un axe fixe.
• Prendre en compte le travail des forces intérieures dans le TEC d'un système déformable ; utiliser sa nullité pour un solide.
• Conduire le bilan énergétique du tabouret d'inertie (conservation de $L_\Delta$, variation de $E_c$ via le travail interne).

15. Pièges et points clés

• Limites du programme : axes fixes uniquement ; pas de mouvement composé translation (galiléen) + rotation barycentrique ; pas d'axe en mouvement (même si direction fixe). Ne pas extrapoler à un solide en rotation sur un axe mobile.
• En translation, tous les points ont la même vitesse — y compris en translation circulaire (ne pas confondre avec une rotation autour d'un axe fixe : dans la translation circulaire, le solide ne pivote pas sur lui-même).
• La vitesse angulaire $\dot\theta$ est commune à tout le solide en rotation ; la vitesse linéaire $\vec v(M)=r\,\dot\theta\,\vec e_\theta$ dépend du point via la distance $r$ à l'axe.
• Le moment d'inertie est fourni ; ne pas perdre de temps à le calculer, mais savoir l'exploiter et relier qualitativement sa valeur à la répartition des masses.
• Un couple a une résultante nulle : il n'intervient que par son moment, lequel est indépendant du point de calcul.
• La liaison pivot exerce une réaction en translation (empêche l'axe de bouger) et peut exercer un moment de réaction selon l'axe (frottements, couple moteur transmis) ; ce moment doit figurer dans le bilan du TSMC.
• TEC vs TSMC : équivalents pour un solide en rotation autour d'un axe fixe ; le TEC reste valable pour un système déformable à condition d'ajouter le travail des forces intérieures.
• Tabouret d'inertie : $L_\Delta$ est conservé (moment extérieur nul selon l'axe), pas $E_c$ — la variation d'énergie cinétique provient du travail interne. Ne pas écrire $\Delta E_c=0$.
• Pendule pesant : l'approximation harmonique $\sin\theta\approx\theta$ n'est valable que pour $\theta\ll 1$ ; hors ce cadre, la période dépend de l'amplitude (non-isochronisme), mis en évidence numériquement.
• Pendule de torsion : oscillateur harmonique exact, donc isochrone (à frottements près).