Fiche 3.5 — Machines thermiques

Thème : L'énergie : conversions et transferts — Semestre : 2 — Chapitre : 3.5

Objectifs

Appliquer les deux principes de la thermodynamique aux machines thermiques cycliques dithermes, en s'appuyant sur des dispositifs industriels réels (moteurs, centrales, pompes à chaleur, réfrigérateurs). Déterminer rendements et efficaces, encadrer leurs valeurs par le théorème de Carnot, et mettre en œuvre expérimentalement une machine cyclique ditherme.

1. Cadre d'étude : machine thermique cyclique ditherme

Définition

• Machine thermique : système fermé qui, au cours d'un cycle, convertit de la chaleur en travail (ou inversement) en échangeant de l'énergie avec le milieu extérieur.
• Cyclique : l'état du système revient identique à lui-même après chaque cycle ; sur un cycle toute fonction d'état a une variation nulle.
• Ditherme : la machine échange de la chaleur avec deux sources seulement — une source chaude à $T_c$ et une source froide à $T_f$, avec $T_c>T_f$. Les sources sont supposées de capacité thermique infinie (leur température reste constante).

Bilan énergétique sur un cycle (premier principe)

Pour un système fermé décrivant un cycle, $\Delta U=0$, donc :

$W+Q_c+Q_f=0$

où $W$, $Q_c$ et $Q_f$ sont comptés algébriquement par rapport à la machine (reçus par la machine, donc positifs si reçus, négatifs si fournis à l'extérieur).

Bilan entropique sur un cycle (second principe)

L'entropie est une fonction d'état : $\Delta S_{\mathrm{système}}=0$ sur un cycle. L'entropie échangée avec les deux sources vaut $S_{\mathrm{échangée}}=Q_c/T_c+Q_f/T_f$, donc :

$S_{\mathrm{créée}}=-\left(\frac{Q_c}{T_c}+\frac{Q_f}{T_f}\right)\ge 0\quad\Longrightarrow\quad -\frac{Q_c}{T_c}-\frac{Q_f}{T_f}\le 0$

C'est cette inégalité qui encadre le rendement et l'efficacité (théorème de Carnot).

2. Moteur thermique

Sens des échanges

Un moteur thermique est une machine dont le but est de fournir du travail au milieu extérieur à partir de la chaleur de la source chaude.

• La machine reçoit $Q_c>0$ de la source chaude.
• La machine rejette $Q_f<0$ à la source froide (chaleur perdue, inévitable d'après le second principe).
• La machine fournit du travail : $W<0$ (transmis à l'extérieur).

Sens spontané des transferts : $Q_c>0$, $Q_f<0$, $W<0$.

Rendement

Le rendement est le rapport de l'énergie utile (travail fourni) à l'énergie payée (chaleur extraite de la source chaude) :

$\eta=\frac{|W|}{Q_c}=\frac{-W}{Q_c}=\frac{Q_c+Q_f}{Q_c}=1+\frac{Q_f}{Q_c}$

Comme $Q_f<0$, on a bien $\eta<1$ : une partie de la chaleur est obligatoirement rejetée à la source froide.

Exemples industriels et ordres de grandeur

L'écart entre $\eta$ réel et $\eta_C$ traduit les irréversibilités (combustion, frottements, détente finie, échange thermique à $\Delta T\neq 0$).

3. Récepteur thermique

Un récepteur thermique reçoit du travail de l'extérieur pour transférer de la chaleur de la source froide vers la source chaude, sens non spontané du point de vue du second principe.

Sens des échanges

• $W>0$ : la machine reçoit du travail.
• $Q_f>0$ : la machine prélève de la chaleur à la source froide.
• $Q_c<0$ : la machine rejette de la chaleur à la source chaude.

Pompe à chaleur (PAC)

But : chauffer un local (source chaude). Efficacité (coefficient de performance) :

$e_{\mathrm{PAC}}=\frac{|Q_c|}{W}=\frac{-Q_c}{W}$

Interprétation : on récupère en chaleur chaude plus que ce qu'on paie en travail électrique. Pour une PAC domestique, $e\sim 3\text{--}4$ en hiver moyen.

Réfrigérateur / climatiseur

But : refroidir un local (source froide). Efficacité :

$e_{\mathrm{frigo}}=\frac{|Q_f|}{W}=\frac{Q_f}{W}$

Pour un réfrigérateur domestique, $e\sim 2\text{--}5$ selon les conditions.

4. Théorème de Carnot

Énoncé

Le rendement d'un moteur ditherme est maximal lorsque tous les échanges sont réversibles (cycle de Carnot) ; il vaut alors :

$\eta_{\mathrm{max}}=\eta_C=1-\frac{T_f}{T_c}$

Pour un récepteur ditherme réversible, l'efficacité est également maximale :

$e_{\mathrm{PAC,max}}=e_C=\frac{T_c}{T_c-T_f}\qquad e_{\mathrm{frigo,max}}=e_C=\frac{T_f}{T_c-T_f}$

Justification par le second principe

Pour un cycle réversible, $S_{\mathrm{créée}}=0$, soit $Q_c/T_c+Q_f/T_f=0$. En reportant dans l'expression du rendement :

$\eta=1+\frac{Q_f}{Q_c}=1-\frac{T_f}{T_c}$

Pour toute transformation réelle ($S_{\mathrm{créée}}>0$), $-Q_c/T_c-Q_f/T_f<0$ et on obtient $\eta<\eta_C$. Les expressions de $e_C$ se déduisent de même à partir des bilans réversibles.

Relation utile

$\eta_C=1-\frac{T_f}{T_c},\qquad e_{C,\mathrm{PAC}}=\frac{1}{\eta_C},\qquad e_{C,\mathrm{frigo}}=\frac{1-\eta_C}{\eta_C}$

Attention : $\eta_C$ est un rendement (toujours $<1$) alors que les efficacités peuvent être $>1$.

5. Cogénération

Principe

La cogénération consiste à produire simultanément du travail mécanique (puis électricité) et de la chaleur utile à partir d'une même source chaude, en valorisant la chaleur $|Q_f|$ rejetée à la source froide au lieu de la perdre.

Bilan énergétique global

Pour une cogénération, l'énergie utile totale est $|W|+|Q_f|$ (travail + chaleur récupérée), rapportée à l'énergie primaire $Q_c$ :

$\eta_{\mathrm{cog}}=\frac{|W|+|Q_f|}{Q_c}$

On peut ainsi dépasser le rendement de Carnot en tant que rapport travail/ chaleur : l'énergie non convertie en travail n'est pas perdue, elle est utilisée pour le chauffage, l'eau chaude sanitaire, un procédé industriel.

Applications industrielles

• Centrales de cogénération urbaines : réseau de chaleur alimenté par la chaleur perdue d'un moteur ou d'une turbine.
• CHP (Combined Heat and Power) : turbines à gaz + récupérateur, rendement global $\sim 80\text{--}90\ \%$.
• Procédés agroalimentaire, papeterie, chimie : vapeur basse pression issue d'une turbine utilisée comme chaleur procédé.

6. Mise en œuvre d'une machine thermique cyclique ditherme

Démarche expérimentale

1. Identifier le système : fluide de travail (gaz, vapeur) contenu dans un ensemble fermé (cylindre, turbine, condenseur, évaporateur).
2. Identifier les deux sources : source chaude (combustion, résistance chauffante, source froide = atmosphère, circuit de refroidissement, ambiance).
3. Tracer le cycle dans un diagramme $(P,V)$ ou $(T,S)$ et vérifier la fermeture (état final = état initial).
4. Mesurer $W$, $Q_c$, $Q_f$ (calorimétrie, mesure de pression/température, comptage électrique pour un récepteur).
5. Calculer $\eta$ ou $e$ et comparer à $\eta_C$ ou $e_C$ ; quantifier les irréversibilités via $S_{\mathrm{créée}}$.

Exemple : cellule d'illustration en TP

• Moteur type Stirling ou moteur à air chaud : source chaude (plaque chauffante $\sim 400\ ^\circ\mathrm{C}$), source froide (refroidissement par eau $\sim 20\ ^\circ\mathrm{C}$). Mesurer le travail par frein et les chaleurs par calorimétrie ; tracer le cycle en $(P,V)$.
• Pompe à chaleur didactique : compresseur, condenseur (source chaude = ambiance ou circuit d'eau), détendeur, évaporateur (source froide). Mesurer $W$ par wattmètre, $|Q_c|$ et $|Q_f|$ par débit et $\Delta T$ ; en déduire $e$ et comparer à $e_C$.

Modélisation d'un dispositif concret

Face à un dispositif réel (centrale, moteur de voiture, PAC), on :

• découpe le cycle en transformations simples (isothermes, adiabatiques, isobares...) ;
• applique le premier principe sur chaque phase pour obtenir $W$ et les $Q$ ;
• somme sur le cycle pour vérifier $W+Q_c+Q_f=0$ ;
• en déduit $\eta$ ou $e$ et compare à la limite de Carnot.

7. Savoir-faire exigibles

• Donner le sens des échanges énergétiques d'un moteur ditherme ($Q_c>0$, $Q_f<0$, $W<0$) et d'un récepteur ditherme ($W>0$, $Q_f>0$, $Q_c<0$), en justifiant le caractère spontané/non spontané.
• Analyser un dispositif concret (moteur, centrale, PAC, réfrigérateur) et le modéliser par une machine cyclique ditherme : identifier système, sources, cycle.
• Définir rendement ou efficacité et les relier aux énergies échangées sur un cycle via $\eta=|W|/Q_c$ (moteur), $e=|Q_c|/W$ (PAC) ou $e=|Q_f|/W$ (frigo).
• Justifier le théorème de Carnot à partir du second principe ($S_{\mathrm{créée}}\ge 0$) et l'utiliser pour calculer $\eta_C=1-T_f/T_c$ et $e_C$.
• Citer des ordres de grandeur réels : moteur essence $\sim 30\ \%$, diesel $\sim 40\ \%$, centrales $\sim 35\text{--}40\ \%$ ; $\eta_C\sim 65\text{--}70\ \%$ pour $T_c\sim 600\ ^\circ\mathrm{C}$ et $T_f\sim 300\ \mathrm{K}$.
• Expliquer le principe de la cogénération : production combinée travail + chaleur utile, valorisation de $|Q_f|$.
• Mettre en œuvre une machine thermique cyclique ditherme : mesurer $W$, $Q_c$, $Q_f$, tracer le cycle, comparer le rendement mesuré à $\eta_C$.

8. Pièges et points clés

• Conventions algébriques : $W$ et $Q$ comptés par rapport à la machine. $W<0$ signifie fourni à l'extérieur, pas « négatif donc perdu ».
• Températures en kelvin dans toutes les formules de Carnot ; un oubli donne un rendement absurde.
• Le rendement $\eta$ est toujours $<1$ (limite de Carnot comprise), tandis qu'une efficacité $e$ peut dépasser 1 : cela ne viole pas le premier principe car l'efficacité n'est pas un rendement.
• Source froide indispensable : un moteur monotherme ne peut fournir du travail sur un cycle (second principe). Toute la chaleur prélevée à $T_c$ ne peut être intégralement convertie en travail.
• $\eta_C$ est un majorant, jamais atteint en pratique ; l'écart à $\eta_C$ mesure les irréversibilités du dispositif réel.
• Cycle réversible $\neq$ cycle rapide : la réversibilité exige des transformations quasi statiques et des échanges thermiques à $\Delta T\to 0$, donc plutôt lents.
• Pour la cogénération, $\eta_{\mathrm{cog}}$ n'est pas un rendement thermodynamique au sens strict ; il peut dépasser $\eta_C$ car il intègre une chaleur « utile » qui ne l'était pas dans le bilan moteur.
• Toujours vérifier la fermeture du cycle ($\Delta U=0$, $\Delta S=0$) avant d'appliquer les bilans : sinon les formules de cette fiche ne s'appliquent pas.