Fiche 3.6 — Statique des fluides dans un référentiel galiléen

Thème : L'énergie : conversions et transferts — Semestre : 2 — Chapitre : 3.6

Objectifs

Introduire sur le support concret de la statique des fluides le principe du découpage d'un domaine (volume, surface) en éléments infinitésimaux et de la sommation d'une grandeur extensive (force). Montrer l'intérêt d'un formalisme spécifique — l'opérateur gradient — pour formuler une loi physique de façon universelle. Établir l'équation locale de la statique, l'intégrer dans deux modèles (fluide incompressible homogène, atmosphère isotherme), justifier la poussée d'Archimède et introduire le facteur de Boltzmann dont on affirme la généralité.

1. Forces surfaciques et forces volumiques

• Force surfacique : s'exerce sur une portion de surface du système, proportionnelle à l'aire ; sa densité surfacique est une contrainte (pression, viscosité, tension superficielle).
  • Pression : force normale à l'élément de surface, dirigée vers l'intérieur du fluide (le fluide "pousse" la paroi, et réciproquement).
  • Viscosité : force tangentielle liée au cisaillement entre couches de fluide (nulle en statique).
• Force volumique : s'exerce sur chaque élément de volume, proportionnelle au volume ; sa densité volumique est une force par unité de volume.
  • Pesanteur $\rho\vec g$ : exemple fondamental en statique.
  • Autres exemples : force d'inertie (référentiel non galiléen), force de Lorentz volumique $\rho\vec E$.

Ordres de grandeur : à $1\ \mathrm{bar}$, une force de pression de $1\ \mathrm{N}$ correspond à $\sim 10\ \mathrm{cm^2}$ ; le poids d'un litre d'eau est $\approx 10\ \mathrm{N}$.

2. Résultante des forces de pression sur un volume

Découpage en surfaces élémentaires

On découpe la surface fermée $\Sigma$ délimitant un volume $V$ en éléments infinitésimaux d'aire $\mathrm dS$. Chaque élément est orienté par la normale sortante $\vec n$ :

$\mathrm d\vec S=\mathrm dS\,\vec n\quad(\text{orientée vers l'extérieur du volume})$

La force de pression exercée par le milieu extérieur sur l'élément $\mathrm d\vec S$ est rentrante (le fluide pousse le volume) :

$\mathrm d\vec F_p=-P\,\mathrm d\vec S$

La résultante s'obtient par sommation (intégrale surfacique) :

$\vec F_p=\iint_\Sigma \mathrm d\vec F_p=-\iint_\Sigma P\,\mathrm d\vec S$

Utilisation des symétries

La direction de $\vec F_p$ est fixée par les invariances de la répartition de pression :

• Si $P$ est invariante par réflexion par rapport à un plan, la composante de $\vec F_p$ normale à ce plan est nulle (les contributions de deux éléments symétriques se compensent).
• Pour un volume plongeant dans un fluide au repos dans le champ de pesanteur ($P$ ne dépend que de $z$), les symétries horizontales imposent $\vec F_p$ verticale.

Évaluation

Lorsque la symétrie réduit le calcul à une seule composante, on se ramène à une intégrale scalaire. Exemple : résultante sur une façade verticale plane de hauteur $h$ et largeur $L$, fluide de masse volumique $\rho$ :

$F_x=\int_0^h P(z)\,L\,\mathrm dz$

La résultante n'est pas égale à $P_{\mathrm{moy}}\times S$ sauf si la pression varie linéairement avec la surface projetée.

3. Équivalent volumique des forces de pression

Passage du surfacique au volumique

Considérons un pavé infinitésimal de côtés $\mathrm dx,\mathrm dy,\mathrm dz$ centré en $(x,y,z)$. La résultante des forces de pression sur les deux faces perpendiculaires à $\vec e_x$ vaut :

$\mathrm dF_{p,x}=\left[P\!\left(x-\tfrac{\mathrm dx}{2}\right)-P\!\left(x+\tfrac{\mathrm dx}{2}\right)\right]\mathrm dy\,\mathrm dz=-\frac{\partial P}{\partial x}\,\mathrm dx\,\mathrm dy\,\mathrm dz$

soit, en sommant les trois directions et en notant $\mathrm dV=\mathrm dx\,\mathrm dy\,\mathrm dz$ :

$\mathrm d\vec F_p=-\vec\nabla P\,\mathrm dV$

Force volumique équivalente

La densité volumique de force de pression est donc

$\boxed{\;\vec f_p=-\vec\nabla P\;}$

C'est l'équivalent volumique des forces de pression : tout se passe comme si chaque élément de volume $\mathrm dV$ subissait une force $-\vec\nabla P\,\mathrm dV$. Ce passage du surficient au volumique par le gradient est universel : il fonde l'écriture locale des lois de la physique.

4. Équation locale de la statique des fluides

Équilibre d'un élément de fluide

En statique, chaque élément de volume $\mathrm dV$ est à l'équilibre dans le référentiel galiléen. Il subit :

• les forces de pression : $\mathrm d\vec F_p=-\vec\nabla P\,\mathrm dV$ ;
• les forces volumiques appliquées, par exemple la pesanteur $\rho\vec g_{\mathrm{ext}}\,\mathrm dV$.

Le Principe Fondamental de la Statique (PFS) appliqué à l'élément donne :

$-\vec\nabla P\,\mathrm dV+\rho\vec g_{\mathrm{ext}}\,\mathrm dV=\vec 0$

d'où, après division par $\mathrm dV$ :

$\boxed{\;\vec\nabla P=\rho\vec g_{\mathrm{ext}}\;}$

Validité : fluide au repos dans un référentiel galiléen ; $\vec g_{\mathrm{ext}}$ est la densité volumique de force par unité de masse (champ de force extérieur par unité de masse). Pour la pesanteur $\vec g=-g\vec e_z$ (axe $z$ vertical ascendant) :

$\frac{\mathrm dP}{\mathrm dz}=-\rho g$

5. Statique dans le champ de pesanteur uniforme

5.1 Fluide incompressible et homogène (hydrostatique)

Si $\rho=\mathrm{cste}$ (liquide), on intègre $\mathrm dP/\mathrm dz=-\rho g$ :

$\boxed{\;P(z)=P_0-\rho g z\;}$

avec $P_0=P(z=0)$ pression de référence. La pression croît avec la profondeur.

Ordres de grandeur :

• Océan : $\rho\approx 10^3\ \mathrm{kg\,m^{-3}}$, $g\approx 9{,}8\ \mathrm{m\,s^{-2}}$ $\Rightarrow$ $\rho g\approx 10^4\ \mathrm{Pa\,m^{-1}}$, soit $\sim 1\ \mathrm{bar}$ tous les $10\ \mathrm{m}$ de profondeur. À $10\ \mathrm{km}$ sous la surface, $P\approx 10^3\ \mathrm{bar}$.
• Atmosphère : $\rho\approx 1{,}2\ \mathrm{kg\,m^{-3}}$ au sol $\Rightarrow$ $\sim 1\ \mathrm{bar}$ tous les $\sim 8\ \mathrm{km}$ (varie fortement avec l'altitude car $\rho$ dépend de $P$ et $T$).

5.2 Atmosphère isotherme (modèle gaz parfait)

L'air est supposé gaz parfait à température uniforme $T=\mathrm{cste}$. Équation d'état locale : $P=\rho \dfrac{R T}{M}$ ($M$ masse molaire de l'air $\approx 29\ \mathrm{g\,mol^{-1}}$). On élimine $\rho=\dfrac{MP}{RT}$ dans $\mathrm dP/\mathrm dz=-\rho g$ :

$\frac{\mathrm dP}{\mathrm dz}=-\frac{Mg}{RT}\,P\;\;\Longrightarrow\;\;\boxed{\;P(z)=P_0\,\exp\!\left(-\frac{Mg z}{RT}\right)\;}$

Échelle de hauteur : $H=\dfrac{RT}{Mg}\approx 8\ \mathrm{km}$ à $T\approx 290\ \mathrm{K}$. La pression décroît exponentiellement, de même que la masse volumique $\rho(z)=\rho_0\exp(-z/H)$.

5.3 Densité moléculaire

À l'échelle microscopique, $P=n\,k_B T$ (GP) avec $n$ densité particulaire. La masse d'une molécule est $m=M/\mathcal N_A$ et $R/M=k_B/m$, d'où :

$\boxed{\;n(z)=n_0\,\exp\!\left(-\frac{m g z}{k_B T}\right)\;}$

La densité moléculaire décroît comme un facteur de Boltzmann (cf. §7).

6. Poussée d'Archimède

Origine

Un corps immergé dans un fluide au repos subit, sur sa surface $\Sigma$, des forces de pression dont la résultante est non nulle car la pression croît avec la profondeur (le bas est plus poussé que le haut). C'est cette résultante qui constitue la poussée d'Archimède : elle n'est pas une force "nouvelle", c'est l'effet global des forces de pression.

Expression

Pour un corps entièrement immergé de volume $V$ dans un fluide de masse volumique $\rho_f$ uniforme, la résultante des forces de pression se calcule via l'équivalent volumique :

$\vec\Pi_A=-\iiint_V \rho_f\vec g\,\mathrm dV\quad\Longrightarrow\quad\boxed{\;\vec\Pi_A=-\rho_f V_{\mathrm{immergé}}\,g\,\vec e_z\;}$

• Direction : verticale, vers le haut (opposée à $\vec g$).
• Intensité : $\Pi_A=\rho_f V_i\,g$, soit le poids du fluide déplacé.
• Point d'application : centre de poussée = centre d'inertie du fluide (homogène) déplacé par le corps. Pour un corps homogène entièrement immergé, il coïncide avec le centre d'inertie du corps.

Exploitation

• Équilibre d'un corps immergé : $\vec\Pi_A+\vec P=\vec 0$ si $\rho_{\mathrm{corps}}=\rho_f$ (flottabilité neutre).
• Flottant : $V_i$ est le volume immergé tel que $\rho_f V_i g = m_{\mathrm{corps}} g$.

7. Facteur de Boltzmann

De l'atmosphère au facteur de Boltzmann

Dans l'atmosphère isotherme, la densité moléculaire s'écrit :

$n(z)=n_0\,\exp\!\left(-\frac{m g z}{k_B T}\right)=n_0\,\exp\!\left(-\frac{E_p(z)}{k_B T}\right)$

où $E_p=mgz$ est l'énergie potentielle d'une molécule dans le champ de pesanteur. On reconnaît le facteur de Boltzmann :

$\boxed{\;\exp\!\left(-\frac{E}{k_B T}\right)\;}$

Généralité (affirmée)

On affirme que ce facteur gouverne la répartition des systèmes microscopiques entre états d'énergie $E$ : la population d'un état d'énergie $E$ à l'équilibre thermique à la température $T$ est proportionnelle à $\exp\!\left(-\dfrac{E}{k_B T}\right)$. C'est une loi universelle de la physique statistique, ici illustrée sur l'atmosphère isotherme.

$k_B T$ comme référence microscopique

À l'échelle microscopique, l'énergie de référence est l'énergie thermique $k_B T$ :

• $k_B=1{,}38\times 10^{-23}\ \mathrm{J\,K^{-1}}$ ;
• à $T=300\ \mathrm{K}$ : $k_B T\approx 4{,}1\times 10^{-21}\ \mathrm{J}\approx 25\ \mathrm{meV}$.

Une énergie d'interaction $\varepsilon\ll k_B T$ est "thermalisée" (effet négligeable) ; si $\varepsilon\gg k_B T$, l'état est figé. Ce critère structure l'analyse de tout phénomène à l'échelle moléculaire.

8. Capacité numérique : atmosphère

À l'aide d'un langage de programmation (Python), on étudie les variations de $T$ et $P$ dans l'atmosphère :

• Modèle isotherme : $P(z)=P_0\exp(-z/H)$, $H=RT/(Mg)$.
• Modèle à gradient thermique (Troposphère standard) : $T(z)=T_0-\alpha z$ avec $\alpha\approx 6{,}5\ \mathrm{K\,km^{-1}}$, et $P(z)=P_0\,(T(z)/T_0)^{Mg/(R\alpha)}$.
• Tracer $P(z)$ et $T(z)$ sur $0$–$20\ \mathrm{km}$ ; comparer les deux modèles ; vérifier $P\approx 0{,}5\,P_0$ vers $5{,}5\ \mathrm{km}$.

9. Savoir-faire exigibles

• Citer des exemples de forces surfaciques (pression, viscosité, tension superficielle) et de forces volumiques (pesanteur, force d'inertie, Lorentz volumique).
• Exprimer une surface élémentaire $\mathrm d\vec S$ dans un système de coordonnées adapté (cartésiennes, cylindriques, sphériques), orientée vers l'extérieur.
• Utiliser les symétries de la répartition de pression pour déterminer la direction de la résultante des forces de pression.
• Évaluer une résultante de forces de pression par découpage en éléments infinitésimaux et sommation $\vec F_p=-\displaystyle\iint_\Sigma P\,\mathrm d\vec S$.
• Exprimer l'équivalent volumique des forces de pression à l'aide du gradient : $\mathrm d\vec F_p=-\vec\nabla P\,\mathrm dV$.
• Établir l'équation locale de la statique des fluides $\vec\nabla P=\rho\vec g_{\mathrm{ext}}$ par application du PFS à un élément de volume.
• Citer les ordres de grandeur des champs de pression dans l'océan ($\sim 1\ \mathrm{bar}$ par $10\ \mathrm{m}$) et l'atmosphère ($\sim 1\ \mathrm{bar}$ par $8\ \mathrm{km}$).
• Exprimer l'évolution de $P(z)$ dans le cas d'un fluide incompressible et homogène : $P(z)=P_0-\rho g z$.
• Exprimer $P(z)$ dans le cas de l'atmosphère isotherme (GP) : $P(z)=P_0\exp(-Mgz/(RT))$ ; et la densité $n(z)=n_0\exp(-mgz/(k_B T))$.
• Capacité numérique : à l'aide d'un langage de programmation, étudier les variations de température et de pression dans l'atmosphère (modèle isotherme et modèle à gradient thermique).
• Expliquer l'origine de la poussée d'Archimède (résultante des forces de pression sur un corps immergé).
• Exploiter la loi d'Archimède : $\vec\Pi_A=-\rho_f V_i g\,\vec e_z$, dirigée vers le haut, intensité $=$ poids du fluide déplacé, point d'application = centre de poussée.
• S'appuyer sur l'atmosphère isotherme pour illustrer la signification du facteur de Boltzmann $\exp(-E/(k_B T))$.
• Utiliser $k_B T$ comme référence des énergies mises en jeu à l'échelle microscopique ($k_B T\approx 4\times 10^{-21}\ \mathrm{J}\approx 25\ \mathrm{meV}$ à $300\ \mathrm{K}$).

10. Pièges et points clés

• Orientation de $\mathrm d\vec S$ : toujours la normale sortante du volume ; la force de pression est alors $\mathrm d\vec F_p=-P\,\mathrm d\vec S$ (rentrante). Inverser le sens change le signe de la résultante.
• Découpage + sommation : la résultante est une intégrale d'une grandeur extensive ; les symétries doivent être exploitées avant d'intégrer pour réduire le calcul à une seule composante.
• Pression = scalaire, force de pression = vectorielle : c'est l'orientation de $\mathrm d\vec S$ qui vectorialise la pression.
• Le gradient vectorialise : $-\vec\nabla P$ est la densité volumique de force de pression ; $\vec\nabla P$ pointe vers les $P$ croissants, donc la force va vers les $P$ décroissants (le fluide pousse vers les basses pressions).
• Équation locale vs intégrale : $\vec\nabla P=\rho\vec g$ est locale ; sa projection sur un axe donne une équation différentielle à intégrer (conditions aux limites indispensables).
• Hydrostatique : $P(z)=P_0-\rho g z$ n'est valable que si $\rho$ est uniforme ; pour un gaz, $\rho$ dépend de $P$ et $T$, d'où la décroissance exponentielle.
• Atmosphère isotherme : le modèle suppose $T$ uniforme (approximation grossière) ; dans la troposphère réelle $T$ décroît, et la formule exponentielle surestime $P$ aux hautes altitudes.
• Poussée d'Archimède : c'est une résultante de pression, pas une force à part ; elle ne dépend que du fluide déplacé ($\rho_f$, $V_i$), pas du corps immergé. Pour un corps partiellement immergé, seul $V_{\mathrm{immergé}}$ compte.
• Centre de poussée $\neq$ centre d'inertie du corps en général : c'est le centre d'inertie du fluide déplacé (coïncidence uniquement pour un corps homogène entièrement immergé).
• Facteur de Boltzmann : on affirme sa généralité (loi de la physique statistique) ; il est ici dérivé sur un cas particulier mais valable pour toute énergie $E$.
• Unités de $k_B T$ : $4\times 10^{-21}\ \mathrm{J}$ est minuscule à l'échelle macroscopique mais décisif à l'échelle moléculaire ; toujours comparer une énergie microscopique à $k_B T$.